Вариант 1 • 1. Упростите выражение: a) (x-3)(x - 7) - 2x(3x-5); б) 4а(а - 2) - (a-4)²; в) 2(m + 1)² - 4m. • 2. Разложите на множители: a) x³-9x; б) -5a²-10ab - 5b². 3. Упростите выражение (y² - 2y)² - y²(y + 3)(y - 3) + 2y(2y² + 5). 4. Разложите на множители: a) 16x⁴-81; б) x²-x-y²-y. 5. Докажите, что выражение х2-4х + 9 при любых значениях х принимает положительные значения.

Привет! Сейчас разберемся с этими заданиями. Тут нужно уметь упрощать выражения, раскладывать на множители и доказывать утверждения. Поехали!

Задание 1: Упростите выражение

а) \[ (x - 3)(x - 7) - 2x(3x - 5) = x^2 - 7x - 3x + 21 - 6x^2 + 10x = -5x^2 + 21 \] б) \[ 4a(a - 2) - (a - 4)^2 = 4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16) = 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16 = 3a^2 - 16 \] в) \[ 2(m + 1)^2 - 4m = 2(m^2 + 2m + 1) - 4m = 2m^2 + 4m + 2 - 4m = 2m^2 + 2 \]

Задание 2: Разложите на множители

а) \[ x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3) \] б) \[ -5a^2 - 10ab - 5b^2 = -5(a^2 + 2ab + b^2) = -5(a + b)^2 \]

Задание 3: Упростите выражение

\[ (y^2 - 2y)^2 - y^2(y + 3)(y - 3) + 2y(2y^2 + 5) = y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^2(y^2 - 9) + 4y^3 + 10y = y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y = 13y^2 + 10y \]

Задание 4: Разложите на множители

а) \[ 16x^4 - 81 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) = (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9) \] б) \[ x^2 - x - y^2 - y = (x^2 - y^2) - (x + y) = (x - y)(x + y) - (x + y) = (x + y)(x - y - 1) \]

Задание 5: Докажите, что выражение \(x^2 - 4x + 9\) при любых значениях x принимает положительные значения.

Выделим полный квадрат: \[ x^2 - 4x + 9 = (x^2 - 4x + 4) + 5 = (x - 2)^2 + 5 \] Так как \((x - 2)^2\) всегда неотрицательно (квадрат любого числа больше или равен нулю), то \[ (x - 2)^2 + 5 \] всегда больше или равно 5. Значит, выражение всегда принимает положительные значения.