Вариант 2 • 1. Упростите выражение: a) (x-3)(x-7) - 2x (3x-5); б) 4a (a-2)-(a-4)²; в) 2(m + 1)²-4m. • 2. Разложите на множители: a) x³-9x; 6) -5a²-10ab – 5b2. - 3. Упростите выражение (y² - 2y)² - y² (y + 3) (y-3)+2y (2y² +5). 4. Разложите на множители: a) 16x4-81; б) х²-х-у²-у. 5. Докажите, что: (a-b) (a+b)((a - b)² + (a + b)²) = 2 (a²-b²).

1. Упростите выражение:

a) (x-3)(x-7) - 2x(3x-5)

• Шаг 1: Раскрываем скобки:

\[x^2 - 7x - 3x + 21 - 6x^2 + 10x\]

• Шаг 2: Приводим подобные члены:

\[-5x^2 - 10x + 21 + 10x\] \[-5x^2 + 21\]

б) 4a(a-2) - (a-4)²

• Шаг 1: Раскрываем скобки:

\[4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16)\] \[4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16\]

• Шаг 2: Приводим подобные члены:

\[3a^2 - 16\]

в) 2(m+1)² - 4m

• Шаг 1: Раскрываем скобки:

\[2(m^2 + 2m + 1) - 4m\] \[2m^2 + 4m + 2 - 4m\]

• Шаг 2: Приводим подобные члены:

\[2m^2 + 2\]

2. Разложите на множители:

a) x³ - 9x

• Шаг 1: Выносим общий множитель x:

\[x(x^2 - 9)\]

• Шаг 2: Раскладываем разность квадратов:

\[x(x - 3)(x + 3)\]

б) -5a² - 10ab - 5b²

• Шаг 1: Выносим общий множитель -5:

\[-5(a^2 + 2ab + b^2)\]

• Шаг 2: Раскладываем полный квадрат:

\[-5(a + b)^2\]

3. Упростите выражение

(y² - 2y)² - y²(y + 3)(y - 3) + 2y(2y² + 5)

• Шаг 1: Раскрываем скобки:

\[y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^2(y^2 - 9) + 4y^3 + 10y\] \[y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y\]

• Шаг 2: Приводим подобные члены:

\[13y^2 + 10y\]

4. Разложите на множители:

a) 16x⁴ - 81

• Шаг 1: Раскладываем разность квадратов:

\[(4x^2 - 9)(4x^2 + 9)\]

• Шаг 2: Раскладываем разность квадратов еще раз:

\[(2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)\]

б) x² - x - y² - y

• Шаг 1: Группируем члены:

\[(x^2 - y^2) - (x + y)\]

• Шаг 2: Раскладываем разность квадратов:

\[(x - y)(x + y) - (x + y)\]

• Шаг 3: Выносим общий множитель:

\[(x + y)(x - y - 1)\]

5. Докажите, что:

(a-b)(a+b)((a - b)² + (a + b)²) = 2(a⁴ - b⁴)

• Шаг 1: Упрощаем левую часть:

\[(a^2 - b^2)((a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2))\] \[(a^2 - b^2)(2a^2 + 2b^2)\] \[2(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)\] \[2(a^4 - b^4)\]

• Шаг 2: Получили правую часть.

Доказано.