Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВариант 1 • 1. Упростите выражение: a) (x-3)(x-7)-2x (3x-5); 6) 4a (a-2) - (а-4)²; в) 2 (m+1)²– -4m. • 2. Разложите на множители: a) x³-9x; 6) -5a²-10ab-56². 3. Упростите выражение (y²-2y)²-y² (y+3) (y-3)+2y (2y²+5). 4. Разложите на множители: a) 16x⁴-81; 6) x²-х-у²-у. 5. Докажите, что выражение х² - 4х +9 при любых значениях х принимает положительные значения.
Ответ:
1. Упростите выражение:
a) \((x-3)(x-7)-2x(3x-5)\)
Шаг 1: Раскрываем скобки в первом произведении:
\[(x-3)(x-7) = x^2 - 7x - 3x + 21 = x^2 - 10x + 21\]
Шаг 2: Раскрываем скобки во втором произведении:
\[-2x(3x-5) = -6x^2 + 10x\]
Шаг 3: Подставляем полученные выражения в исходное:
\[x^2 - 10x + 21 - 6x^2 + 10x\]
Шаг 4: Приводим подобные слагаемые:
\[x^2 - 6x^2 - 10x + 10x + 21 = -5x^2 + 21\]
Ответ: \(-5x^2 + 21\)
б) \(4a(a-2)-(a-4)^2\)
Шаг 1: Раскрываем скобки в первом произведении:
\[4a(a-2) = 4a^2 - 8a\]
Шаг 2: Раскрываем скобки во втором выражении:
\[(a-4)^2 = a^2 - 8a + 16\]
Шаг 3: Подставляем полученные выражения в исходное:
\[4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16)\]
Шаг 4: Упрощаем выражение:
\[4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16 = 3a^2 - 16\]
Ответ: \(3a^2 - 16\)
в) \(2(m+1)^2 - 4m\)
Шаг 1: Раскрываем скобки:
\[2(m+1)^2 = 2(m^2 + 2m + 1) = 2m^2 + 4m + 2\]
Шаг 2: Подставляем полученное выражение в исходное:
\[2m^2 + 4m + 2 - 4m\]
Шаг 3: Упрощаем выражение:
\[2m^2 + 4m - 4m + 2 = 2m^2 + 2\]
Ответ: \(2m^2 + 2\)
2. Разложите на множители:
a) \(x^3 - 9x\)
Шаг 1: Выносим общий множитель \(x\) за скобки:
\[x(x^2 - 9)\]
Шаг 2: Раскладываем скобку по формуле разности квадратов:
\[x(x - 3)(x + 3)\]
Ответ: \(x(x - 3)(x + 3)\)
б) \(-5a^2 - 10ab - 5b^2\)
Шаг 1: Выносим \(-5\) за скобки:
\[-5(a^2 + 2ab + b^2)\]
Шаг 2: Замечаем полный квадрат в скобках:
\[-5(a + b)^2\]
Ответ: \(-5(a + b)^2\)
3. Упростите выражение:
\[(y^2 - 2y)^2 - y^2(y+3)(y-3) + 2y(2y^2+5)\]
Шаг 1: Раскрываем первую скобку:
\[(y^2 - 2y)^2 = y^4 - 4y^3 + 4y^2\]
Шаг 2: Раскрываем вторую скобку:
\[-y^2(y+3)(y-3) = -y^2(y^2 - 9) = -y^4 + 9y^2\]
Шаг 3: Раскрываем третью скобку:
\[2y(2y^2+5) = 4y^3 + 10y\]
Шаг 4: Объединяем все выражения:
\[y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y\]
Шаг 5: Приводим подобные слагаемые:
\[y^4 - y^4 - 4y^3 + 4y^3 + 4y^2 + 9y^2 + 10y = 13y^2 + 10y\]
Ответ: \(13y^2 + 10y\)
4. Разложите на множители:
a) \(16x^4 - 81\)
Шаг 1: Представляем выражение как разность квадратов:
\[(4x^2)^2 - 9^2\]
Шаг 2: Раскладываем по формуле разности квадратов:
\[(4x^2 - 9)(4x^2 + 9)\]
Шаг 3: Представляем первую скобку как разность квадратов:
\[((2x)^2 - 3^2)(4x^2 + 9)\]
Шаг 4: Раскладываем первую скобку по формуле разности квадратов:
\[(2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)\]
Ответ: \((2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)\)
б) \(x^2 - x - y^2 - y\)
Шаг 1: Группируем члены:
\[(x^2 - y^2) - (x + y)\]
Шаг 2: Раскладываем разность квадратов:
\[(x - y)(x + y) - (x + y)\]
Шаг 3: Выносим общий множитель \((x + y)\) за скобки:
\[(x + y)(x - y - 1)\]
Ответ: \((x + y)(x - y - 1)\)
5. Докажите, что выражение \(x^2 - 4x + 9\) при любых значениях \(x\) принимает положительные значения.
Шаг 1: Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:
\[x^2 - 4x + 9 = x^2 - 4x + 4 + 5 = (x - 2)^2 + 5\]
Шаг 2: Анализируем полученное выражение:
Выражение \((x - 2)^2\) всегда неотрицательно (квадрат любого числа больше или равен нулю). Следовательно, \((x - 2)^2 + 5\) всегда больше или равно 5.
Вывод: Выражение \(x^2 - 4x + 9\) всегда принимает положительные значения.
Ответ: См. решения выше
