Вариант 1 • 1. Упростите выражение: a) (x-3)(x-7)-2x(3x-5); б) 4а (а-2)-(a-4)²; в) 2(m+1)²-4m. 2. Разложите на множители: a) x³-9x; б) 5a²-10ab - 5b2. 3. Упростите выражение (y2-2y)2-y2 (y+3) (y-3)+2y (2y²+5). 4. Разложите на множители: a) 16x4-81; б) х²-х-у²-у. 5. Докажите, что выражение х2-4х+9 при любых значениях х принимает положительные значения.

Вариант 1

1. Упростите выражение:

a) $$(x-3)(x-7)-2x(3x-5)$$ Раскроем скобки: $$x^2 -7x -3x +21 -6x^2 +10x$$ Приведем подобные слагаемые: $$-5x^2+21$$ б) $$4a(a-2)-(a-4)^2$$ Раскроем скобки: $$4a^2-8a-(a^2-8a+16)$$ $$4a^2-8a-a^2+8a-16$$ Приведем подобные слагаемые: $$3a^2-16$$ в) $$2(m+1)^2-4m$$ Раскроем скобки: $$2(m^2+2m+1)-4m$$ $$2m^2+4m+2-4m$$ Приведем подобные слагаемые: $$2m^2+2$$

Ответ: a) $$-5x^2+21$$; б) $$3a^2-16$$; в) $$2m^2+2$$

2. Разложите на множители:

а) $$x^3-9x$$ Вынесем х за скобку: $$x(x^2-9)$$ Разложим разность квадратов: $$x(x-3)(x+3)$$ б) $$-5a^2-10ab-5b^2$$ Вынесем -5 за скобку: $$-5(a^2+2ab+b^2)$$ Выделим полный квадрат: $$-5(a+b)^2$$

Ответ: а) $$x(x-3)(x+3)$$; б) $$-5(a+b)^2$$

3. Упростите выражение:

$$(y^2-2y)^2-y^2(y+3)(y-3)+2y(2y^2+5)$$ Возведем в квадрат первую скобку: $$y^4-4y^3+4y^2-y^2(y^2-9)+4y^3+10y$$ Раскроем скобки: $$y^4-4y^3+4y^2-y^4+9y^2+4y^3+10y$$ Приведем подобные слагаемые: $$13y^2+10y$$

Ответ: $$13y^2+10y$$

4. Разложите на множители:

а) $$16x^4-81$$ Разложим разность квадратов: $$(4x^2-9)(4x^2+9)$$ Разложим разность квадратов в первой скобке: $$(2x-3)(2x+3)(4x^2+9)$$ б) $$x^2-x-y^2-y$$ Сгруппируем: $$x^2-y^2-(x+y)$$ Разложим разность квадратов: $$(x-y)(x+y)-(x+y)$$ Вынесем общую скобку за скобки: $$(x+y)(x-y-1)$$

Ответ: а) $$(2x-3)(2x+3)(4x^2+9)$$; б) $$(x+y)(x-y-1)$$

5. Докажите, что выражение $$x^2-4x+9$$ при любых значениях х принимает положительные значения.

Выделим полный квадрат: $$x^2-4x+4+5=(x-2)^2+5$$ Квадрат любого числа неотрицателен, т.е. $$(x-2)^2 \ge 0$$ Следовательно, $$(x-2)^2+5 \ge 5>0$$ при любых значениях х

Ответ: доказано