Вариант 1 • 1. Упростите выражение: К-8 a) (x-3)(x-7)-2x(3x-5); б) 4a (a-2)-(a-4)2; в) 2(m+1)²-4m. • 2. Разложите на множители: a) x³-9x; 6) -5a²-10ab – 562. 3. Упростите выражение (y2-2y)²-y² (y+3)(y-3)+2y (2y² +5). 4. Разложите на множители: 16x4-81; 6) х²-х-у-у. 5. Докажите, что выражение х2-4х+9 при любых качениях х принимает положительные значения.

Задание 1

a) \[(x-3)(x-7)-2x(3x-5)\]

• Раскроем скобки:
\[x^2 - 7x - 3x + 21 - 6x^2 + 10x = x^2 - 10x + 21 - 6x^2 + 10x\]
• Приведем подобные члены:
\[x^2 - 6x^2 - 10x + 10x + 21 = -5x^2 + 21\]

Ответ: \[-5x^2 + 21\]

б) \[4a(a-2)-(a-4)^2\]

• Раскроем скобки:
\[4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16) = 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16\]
• Приведем подобные члены:
\[4a^2 - a^2 - 8a + 8a - 16 = 3a^2 - 16\]

Ответ: \[3a^2 - 16\]

в) \[2(m+1)^2-4m\]

• Раскроем скобки:
\[2(m^2 + 2m + 1) - 4m = 2m^2 + 4m + 2 - 4m\]
• Приведем подобные члены:
\[2m^2 + 4m - 4m + 2 = 2m^2 + 2\]

Ответ: \[2m^2 + 2\]

Задание 2

a) \[x^3 - 9x\]

• Вынесем общий множитель за скобки:
\[x(x^2 - 9)\]
• Разложим разность квадратов:
\[x(x - 3)(x + 3)\]

Ответ: \[x(x - 3)(x + 3)\]

б) \[-5a^2 - 10ab - 5b^2\]

• Вынесем общий множитель за скобки:
\[-5(a^2 + 2ab + b^2)\]
• Выделим полный квадрат:
\[-5(a + b)^2\]

Ответ: \[-5(a + b)^2\]

Задание 3

\[(y^2 - 2y)^2 - y^2(y+3)(y-3) + 2y(2y^2 + 5)\]

• Раскроем скобки:
\[y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^2(y^2 - 9) + 4y^3 + 10y = y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y\]
• Приведем подобные члены:
\[y^4 - y^4 - 4y^3 + 4y^3 + 4y^2 + 9y^2 + 10y = 13y^2 + 10y\]

Ответ: \[13y^2 + 10y\]

Задание 4

a) \[16x^4 - 81\]

• Разложим разность квадратов:
\[(4x^2 - 9)(4x^2 + 9)\]
• Разложим разность квадратов еще раз:
\[(2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)\]

Ответ: \[(2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)\]

б) \[x^2 - x - y^2 - y\]

• Сгруппируем члены:
\[(x^2 - y^2) - (x + y)\]
• Разложим разность квадратов:
\[(x - y)(x + y) - (x + y)\]
• Вынесем общий множитель за скобки:
\[(x + y)(x - y - 1)\]

Ответ: \[(x + y)(x - y - 1)\]

Задание 5

Докажем, что выражение \[x^2 - 4x + 9\] принимает положительные значения при любых значениях x.

• Выделим полный квадрат:
\[x^2 - 4x + 9 = (x^2 - 4x + 4) + 5 = (x - 2)^2 + 5\]
• Так как \[(x - 2)^2 \ge 0\] при любых значениях x, то \[(x - 2)^2 + 5 \ge 5 > 0\] при любых значениях x.
• Следовательно, выражение \[x^2 - 4x + 9\] принимает положительные значения при любых значениях x.

Ответ: Выражение \[x^2 - 4x + 9\] принимает положительные значения при любых значениях x, что и требовалось доказать.