Вариант 1 • 1. Выполните умножение: a) (c+2)(c-3); б) (2a-1)(3a + 4); в) (5x-2y) (4x-y); г) (а-2) (а²-За+6). • 2. Разложите на множители: a) a(a+3)-2(a+3); б) ах-ау + 5x-5у. 3. Упростите выражение – 0,1x(2x²+6) (5-4x²). 4. Представьте многочлен в виде произведения: a) x²-xy-4x+4y; 6) ab-ac-bx+cx+c-b. 5. Из прямоугольного листа фанеры вырезали квадратную пластинку, для чего с одной стороны листа фанеры отрезали полосу шириной 2 см, а с другой, соседней, - 3 см. Найдите сторону получившегося квадрата, если известно, что его площадь на 51 см² меньше площади прямоугольника. 6. Докажите тождество (х-3)(x + 4) = x(x + 1) - 12. 7. Решить уравнение: (x - 2) (x - 5)(x-3) (x + 6) = 8. 8. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если длину увеличить на 6 дм, а ширину на 2 дм, то площадь его увеличится на 48 дм². Найдите первоначальную длину и ширину прямоугольника.

1. Выполните умножение:

а) \[(c+2)(c-3) = c^2 - 3c + 2c - 6 = c^2 - c - 6\] б) \[(2a-1)(3a+4) = 6a^2 + 8a - 3a - 4 = 6a^2 + 5a - 4\] в) \[(5x-2y)(4x-y) = 20x^2 - 5xy - 8xy + 2y^2 = 20x^2 - 13xy + 2y^2\] г) \[(a-2)(a^2-3a+6) = a^3 - 3a^2 + 6a - 2a^2 + 6a - 12 = a^3 - 5a^2 + 12a - 12\]

2. Разложите на множители:

а) \[a(a+3)-2(a+3) = (a+3)(a-2)\] б) \[ax-ay+5x-5y = a(x-y) + 5(x-y) = (x-y)(a+5)\]

3. Упростите выражение:

\[-0.1x(2x^2+6)(5-4x^2) = -0.1x(10x^2 - 8x^4 + 30 - 24x^2) = -0.1x(-8x^4 - 14x^2 + 30) = 0.8x^5 + 1.4x^3 - 3x\]

4. Представьте многочлен в виде произведения:

а) \[x^2-xy-4x+4y = x(x-y) - 4(x-y) = (x-y)(x-4)\] б) \[ab-ac-bx+cx+c-b = a(b-c) - x(b-c) - (b-c) = (b-c)(a-x-1)\]

5. Задача про лист фанеры:

Пусть \[x\] – сторона получившегося квадрата. Тогда стороны прямоугольника: \[x+2\] и \[x+3\]. Площадь прямоугольника: \[(x+2)(x+3)\]. Площадь квадрата: \[x^2\]. По условию, площадь квадрата на 51 см² меньше площади прямоугольника, значит: \[(x+2)(x+3) - x^2 = 51\] \[x^2 + 5x + 6 - x^2 = 51\] \[5x = 45\] \[x = 9\] Сторона получившегося квадрата равна 9 см.

6. Докажите тождество:

\[(x-3)(x+4) = x(x+1) - 12\] Раскроем скобки в левой части: \[x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12\] Раскроем скобки в правой части: \[x^2 + x - 12 = x^2 + x - 12\] Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

7. Решить уравнение:

\[(x - 2) (x - 5) - (x - 3) (x + 6) = 8\] \[x^2 - 5x - 2x + 10 - (x^2 + 6x - 3x - 18) = 8\] \[x^2 - 7x + 10 - x^2 - 3x + 18 = 8\] \[-10x + 28 = 8\] \[-10x = -20\] \[x = 2\]

8. Задача про прямоугольник:

Пусть \[w\] – ширина прямоугольника, тогда длина равна \[3w\]. Площадь прямоугольника: \[3w^2\]. Если длину увеличить на 6 дм, а ширину на 2 дм, то новая длина будет \[3w+6\], а новая ширина \[w+2\]. Новая площадь: \[(3w+6)(w+2)\]. По условию, новая площадь увеличится на 48 дм², значит: \[(3w+6)(w+2) - 3w^2 = 48\] \[3w^2 + 6w + 6w + 12 - 3w^2 = 48\] \[12w = 36\] \[w = 3\] Тогда ширина прямоугольника равна 3 дм, а длина равна \[3 \times 3 = 9\] дм.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что все вычисления выполнены верно и ответы соответствуют условиям задач.

Уровень Эксперт: Попробуй решить эти же задачи разными способами, чтобы закрепить материал и развить математическое мышление!