Вариант 2 •1. Найдите сороковой член арифметической прогрес- сии (аₙ), если a₁ = 38 и d = -3. •2. Найдите сумму первых двадцати членов арифмети- ческой прогрессии (аₙ), если a₁ = 1 и a₂ = 6. •3. Является ли число 39 членом арифметической про- грессии (сₙ), в которой c₁ = -6 и c₉ = 6? 4. Найдите сумму первых тридцати членов последова- тельности, заданной формулой bₙ = 3n – 1. 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превышающих 80.

Решим задачи варианта 2.

1. Задача 1: Найти сороковой член арифметической прогрессии (aₙ), если a₁ = 38 и d = -3.

   Решение:

   Формула n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

   В нашем случае n = 40, a₁ = 38, d = -3.

   Подставляем значения в формулу: $$a_{40} = 38 + (40 - 1)(-3) = 38 + 39 \times (-3) = 38 - 117 = -79$$

   Ответ: -79

2. Задача 2: Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (aₙ), если a₁ = 1 и a₂ = 6.

   Решение:

   Найдем разность арифметической прогрессии: $$d = a₂ - a₁ = 6 - 1 = 5$$

   Сумма n первых членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \times n$$

   В нашем случае n = 20, a₁ = 1, d = 5.

   Подставляем значения в формулу: $$S_{20} = \frac{2 \times 1 + (20 - 1)5}{2} \times 20 = \frac{2 + 19 \times 5}{2} \times 20 = \frac{2 + 95}{2} \times 20 = \frac{97}{2} \times 20 = 97 \times 10 = 970$$

   Ответ: 970

3. Задача 3: Является ли число 39 членом арифметической прогрессии (cₙ), в которой c₁ = -6 и c₉ = 6?

   Решение:

   Найдем разность арифметической прогрессии: $$c_9 = c_1 + (9 - 1)d$$

   $$6 = -6 + 8d$$

   $$8d = 12$$

   $$d = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$$

   Проверим, является ли число 39 членом этой прогрессии:

   $$c_n = c_1 + (n - 1)d$$

   $$39 = -6 + (n - 1)1.5$$

   $$45 = (n - 1)1.5$$

   $$n - 1 = \frac{45}{1.5} = 30$$

   $$n = 31$$

   Так как n - целое число, то число 39 является членом этой арифметической прогрессии.

   Ответ: да, является

4. Задача 4: Найти сумму первых тридцати членов последовательности, заданной формулой bₙ = 3n – 1.

   Решение:

   Найдем первый член последовательности: $$b_1 = 3 \times 1 - 1 = 2$$

   Найдем второй член последовательности: $$b_2 = 3 \times 2 - 1 = 5$$

   Разность между соседними членами: $$d = b_2 - b_1 = 5 - 2 = 3$$

   Так как разность постоянна, последовательность является арифметической прогрессией.

   Найдем сумму первых тридцати членов: $$S_{30} = \frac{2b_1 + (30 - 1)d}{2} \times 30 = \frac{2 \times 2 + 29 \times 3}{2} \times 30 = \frac{4 + 87}{2} \times 30 = \frac{91}{2} \times 30 = 91 \times 15 = 1365$$

   Ответ: 1365

5. Задача 5: Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превышающих 80.

   Решение:

   Первое число, кратное 3 и не превышающее 80: 3.

   Последнее число, кратное 3 и не превышающее 80: 78.

   Это арифметическая прогрессия с a₁ = 3 и d = 3.

   Найдем количество членов прогрессии: $$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

   $$78 = 3 + (n - 1)3$$

   $$75 = (n - 1)3$$

   $$n - 1 = 25$$

   $$n = 26$$

   Найдем сумму: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n = \frac{3 + 78}{2} \times 26 = \frac{81}{2} \times 26 = 81 \times 13 = 1053$$

   Ответ: 1053