Вариант 1 •1. Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (аₙ), если а₁ = -25 и d = 4. •2. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (ад), если а₁ = 2 и а₂ = 5. •3. Является ли число -6 членом арифметической прогрессии (сₙ), в которой с₁ = 30 и с₇ = 21? 4. Найдите сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой bₙ = 2n + 1. 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150. Вариант 2 •1. Найдите сороковой член арифметической прогрессии (аₙ), если а₁ = 38 и d = -3. •2. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (аₙ), если а₁ = 1 и а₂ = 6. •3. Является ли число 39 членом арифметической прогрессии (сₙ), в которой с₁ = -6 и С₉ = 6? 4. Найдите сумму первых тридцати членов последовательности, заданной формулой bₙ = 3n - 1. 5. Найдите сумму всех натуральных чисел,

Вариант 1

1. Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (aₙ), если a₁ = -25 и d = 4.

Логика такая:

Общая формула n-го члена арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + (n - 1)d.

В нашем случае n = 30, a₁ = -25, d = 4. Подставляем значения в формулу:

a₃₀ = -25 + (30 - 1) ⋅ 4 = -25 + 29 ⋅ 4 = -25 + 116 = 91.

Ответ: a₃₀ = 91

2. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (aₙ), если a₁ = 2 и a₂ = 5.

Разбираемся:

Сначала найдем разность арифметической прогрессии: d = a₂ - a₁ = 5 - 2 = 3.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии: Sₙ = (2a₁ + (n - 1)d) / 2 ⋅ n.

В нашем случае n = 15, a₁ = 2, d = 3. Подставляем значения в формулу:

S₁₅ = (2 ⋅ 2 + (15 - 1) ⋅ 3) / 2 ⋅ 15 = (4 + 14 ⋅ 3) / 2 ⋅ 15 = (4 + 42) / 2 ⋅ 15 = 46 / 2 ⋅ 15 = 23 ⋅ 15 = 345.

Ответ: S₁₅ = 345

3. Является ли число -6 членом арифметической прогрессии (cₙ), в которой c₁ = 30 и c₇ = 21?

Смотри, тут всё просто:

Сначала найдем разность арифметической прогрессии. Мы знаем c₁ = 30 и c₇ = 21.

c₇ = c₁ + 6d, отсюда d = (c₇ - c₁) / 6 = (21 - 30) / 6 = -9 / 6 = -1.5.

Теперь проверим, является ли -6 членом этой прогрессии. Если -6 является членом прогрессии, то существует такое целое число n, что cₙ = -6.

cₙ = c₁ + (n - 1)d.

-6 = 30 + (n - 1) ⋅ (-1.5).

-36 = (n - 1) ⋅ (-1.5).

n - 1 = -36 / -1.5 = 24.

n = 25.

Так как n = 25 является целым числом, то -6 является членом этой арифметической прогрессии.

Ответ: Да, является (25-м членом)

4. Найдите сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой bₙ = 2n + 1.

Сумма первых n членов последовательности может быть найдена как сумма арифметической прогрессии, где b₁ - первый член, bₙ - n-й член, и n - количество членов.

b₁ = 2(1) + 1 = 3.

b₂₀ = 2(20) + 1 = 41.

S₂₀ = ((b₁ + b₂₀) / 2) ⋅ 20 = ((3 + 41) / 2) ⋅ 20 = (44 / 2) ⋅ 20 = 22 ⋅ 20 = 440.

Ответ: S₂₀ = 440

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150.

Первое число, кратное 4: 4.

Последнее число, кратное 4 и не превышающее 150: 148 (так как 150 / 4 = 37.5, то 37 ⋅ 4 = 148).

Теперь найдем сумму арифметической прогрессии, где a₁ = 4, aₙ = 148, и d = 4.

Сначала найдем количество членов n. aₙ = a₁ + (n - 1)d.

148 = 4 + (n - 1) ⋅ 4.

144 = (n - 1) ⋅ 4.

36 = n - 1.

n = 37.

Теперь найдем сумму: Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 ⋅ n.

S₃₇ = (4 + 148) / 2 ⋅ 37 = 152 / 2 ⋅ 37 = 76 ⋅ 37 = 2812.

Ответ: S = 2812

Вариант 2

1. Найдите сороковой член арифметической прогрессии (aₙ), если a₁ = 38 и d = -3.

Общая формула n-го члена арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + (n - 1)d.

В нашем случае n = 40, a₁ = 38, d = -3. Подставляем значения в формулу:

a₄₀ = 38 + (40 - 1) ⋅ (-3) = 38 + 39 ⋅ (-3) = 38 - 117 = -79.

Ответ: a₄₀ = -79

2. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (aₙ), если a₁ = 1 и a₂ = 6.

Сначала найдем разность арифметической прогрессии: d = a₂ - a₁ = 6 - 1 = 5.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии: Sₙ = (2a₁ + (n - 1)d) / 2 ⋅ n.

В нашем случае n = 20, a₁ = 1, d = 5. Подставляем значения в формулу:

S₂₀ = (2 ⋅ 1 + (20 - 1) ⋅ 5) / 2 ⋅ 20 = (2 + 19 ⋅ 5) / 2 ⋅ 20 = (2 + 95) / 2 ⋅ 20 = 97 / 2 ⋅ 20 = 97 ⋅ 10 = 970.

Ответ: S₂₀ = 970

3. Является ли число 39 членом арифметической прогрессии (cₙ), в которой c₁ = -6 и c₉ = 6?

Сначала найдем разность арифметической прогрессии. Мы знаем c₁ = -6 и c₉ = 6.

c₉ = c₁ + 8d, отсюда d = (c₉ - c₁) / 8 = (6 - (-6)) / 8 = 12 / 8 = 1.5.

Теперь проверим, является ли 39 членом этой прогрессии. Если 39 является членом прогрессии, то существует такое целое число n, что cₙ = 39.

cₙ = c₁ + (n - 1)d.

39 = -6 + (n - 1) ⋅ (1.5).

45 = (n - 1) ⋅ (1.5).

n - 1 = 45 / 1.5 = 30.

n = 31.

Так как n = 31 является целым числом, то 39 является членом этой арифметической прогрессии.

Ответ: Да, является (31-м членом)

4. Найдите сумму первых тридцати членов последовательности, заданной формулой bₙ = 3n - 1.

Сумма первых n членов последовательности может быть найдена как сумма арифметической прогрессии, где b₁ - первый член, bₙ - n-й член, и n - количество членов.

b₁ = 3(1) - 1 = 2.

b₃₀ = 3(30) - 1 = 89.

S₃₀ = ((b₁ + b₃₀) / 2) ⋅ 30 = ((2 + 89) / 2) ⋅ 30 = (91 / 2) ⋅ 30 = 91 ⋅ 15 = 1365.

Ответ: S₃₀ = 1365

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150.

Первое число, кратное 4: 4.

Последнее число, кратное 4 и не превышающее 150: 148 (так как 150 / 4 = 37.5, то 37 ⋅ 4 = 148).

Теперь найдем сумму арифметической прогрессии, где a₁ = 4, aₙ = 148, и d = 4.

Сначала найдем количество членов n. aₙ = a₁ + (n - 1)d.

148 = 4 + (n - 1) ⋅ 4.

144 = (n - 1) ⋅ 4.

36 = n - 1.

n = 37.

Теперь найдем сумму: Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 ⋅ n.

S₃₇ = (4 + 148) / 2 ⋅ 37 = 152 / 2 ⋅ 37 = 76 ⋅ 37 = 2812.

Ответ: S = 2812

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил формулы арифметической прогрессии и последовательности.

База: Помни, что арифметическая прогрессия - это последовательность, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.