Вариант 1 •1. Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (а), если а₁ = -25 и d = 4. •2. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (ад), если а₁ = 2 и а₂ = 5. •3. Является ли число -6 членом арифметической прогрессии (с), в которой с₁ = 30 и с₇ = 21? 4. Найдите сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой b₁ = 2n + 1. 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150.

1. Найдите тридцатый член арифметической прогрессии (\(a_n\)), если \(a_1 = -25\) и \(d = 4\).

Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n - 1)d\).

В нашем случае, \(n = 30\), \(a_1 = -25\), \(d = 4\).

Подставляем значения в формулу:

\[a_{30} = -25 + (30 - 1) \cdot 4\]

\[a_{30} = -25 + 29 \cdot 4\]

\[a_{30} = -25 + 116\]

\[a_{30} = 91\]

Ответ: 91

2. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (\(a_n\)), если \(a_1 = 2\) и \(a_2 = 5\).

Сумма \(n\) первых членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\).

Сначала найдем разность \(d\): \(d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3\).

Теперь найдем \(a_{15}\): \(a_{15} = a_1 + (15 - 1)d = 2 + 14 \cdot 3 = 2 + 42 = 44\).

Подставляем значения в формулу суммы:

\[S_{15} = \frac{15(2 + 44)}{2}\]

\[S_{15} = \frac{15 \cdot 46}{2}\]

\[S_{15} = 15 \cdot 23\]

\[S_{15} = 345\]

Ответ: 345

3. Является ли число -6 членом арифметической прогрессии (\(c_n\)), в которой \(c_1 = 30\) и \(c_7 = 21\)?

Найдем разность \(d\): \(c_7 = c_1 + 6d\), следовательно, \(21 = 30 + 6d\), \(6d = -9\), \(d = -1.5\).

Теперь проверим, является ли -6 членом этой прогрессии: \(c_n = c_1 + (n - 1)d\).

\[-6 = 30 + (n - 1)(-1.5)\]

\[-6 = 30 - 1.5n + 1.5\]

\[-36 = -1.5n + 1.5\]

\[-37.5 = -1.5n\]

\[n = \frac{-37.5}{-1.5} = 25\]

Так как \(n = 25\) является целым числом, число -6 является 25-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: Да, является.

4. Найдите сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой \(b_n = 2n + 1\).

Для нахождения суммы первых двадцати членов последовательности, найдем первый и двадцатый члены:

\[b_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3\]

\[b_{20} = 2 \cdot 20 + 1 = 41\]

Теперь воспользуемся формулой суммы \(n\) первых членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n(b_1 + b_n)}{2}\]

\[S_{20} = \frac{20(3 + 41)}{2}\]

\[S_{20} = \frac{20 \cdot 44}{2}\]

\[S_{20} = 10 \cdot 44\]

\[S_{20} = 440\]

Ответ: 440

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150.

Первое число, кратное 4, это 4, последнее - 148.

Найдем количество таких чисел: \(148 = 4 + (n - 1)4\), \(144 = (n - 1)4\), \(36 = n - 1\), \(n = 37\).

Теперь найдем сумму:

\[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\]

\[S_{37} = \frac{37(4 + 148)}{2}\]

\[S_{37} = \frac{37 \cdot 152}{2}\]

\[S_{37} = 37 \cdot 76\]

\[S_{37} = 2812\]

Ответ: 2812