Вариант 2 •1. Найдите восьмой член геометрической прогрессии (6), если в₁ = 0,0027 и q= -10. •2. Последовательность (6) геометрическая прогрес- сия, в которой 6 = 40 и q= √2. Найдите 61. •3. Найдите сумму первых шести членов геометриче- ской прогрессии (6), в которой в₁ = 81 и q= 3. 4. Известны два члена геометрической прогрессии: b = 0,5 и b = 0,005. Найдите ее первый член. 5. Сумма первых трех членов геометрической прогрес- сии равна 26, знаменатель прогрессии равен 3. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Краткое пояснение:

1. Задача 1: Найти восьмой член геометрической прогрессии.

Известно: первый член \( b_1 = 0.0027 \) и знаменатель \( q = -10 \). Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \). Нужно найти \( b_8 \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Подставляем известные значения в формулу: \( b_8 = 0.0027 \cdot (-10)^{8-1} \).
2. Шаг 2: Вычисляем степень: \( (-10)^7 = -10,000,000 \).
3. Шаг 3: Умножаем: \( b_8 = 0.0027 \cdot (-10,000,000) = -27,000 \).

Ответ: \( b_8 = -27000 \)

2. Задача 2: Найти первый член геометрической прогрессии.

Известно: шестой член \( b_6 = 40 \) и знаменатель \( q = \sqrt{2} \). Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \). Нужно найти \( b_1 \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Выражаем \( b_1 \) из формулы: \( b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}} \).
2. Шаг 2: Подставляем известные значения в формулу: \( b_1 = \frac{40}{(\sqrt{2})^{6-1}} \).
3. Шаг 3: Вычисляем степень: \( (\sqrt{2})^5 = 2^{5/2} = 2^{2.5} = 4\sqrt{2} \).
4. Шаг 4: Делим: \( b_1 = \frac{40}{4\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \).
5. Шаг 5: Избавляемся от иррациональности в знаменателе: \( b_1 = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \).

Ответ: \( b_1 = 5\sqrt{2} \)

3. Задача 3: Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии.

Известно: первый член \( b_1 = 81 \) и знаменатель \( q = 3 \). Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \). Нужно найти \( S_6 \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Подставляем известные значения в формулу: \( S_6 = \frac{81(3^6 - 1)}{3 - 1} \).
2. Шаг 2: Вычисляем степень: \( 3^6 = 729 \).
3. Шаг 3: Считаем: \( S_6 = \frac{81(729 - 1)}{2} = \frac{81 \cdot 728}{2} = 81 \cdot 364 = 29484 \).

Ответ: \( S_6 = 29484 \)

4. Задача 4: Найти первый член геометрической прогрессии.

Известно: пятый член \( b_5 = 0.5 \) и седьмой член \( b_7 = 0.005 \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Используем формулу \( b_7=b_5*q^2 \). Выражаем \( q^2 = \frac{b_7}{b_5} = \frac{0.005}{0.5} =0.01 \).
2. Шаг 2: Находим \( q = \sqrt{0.01} = 0.1 \) или \( q = -0.1 \).
3. Шаг 3: Зная \( b_5 = b_1*q^4 \), выразим \( b_1 = \frac{b_5}{q^4} \).
4. Шаг 4: Подставим известные значения: \( b_1 = \frac{0.5}{(0.1)^4} = \frac{0.5}{0.0001}=5000 \) или \( b_1 = \frac{0.5}{(-0.1)^4} = \frac{0.5}{0.0001}=5000 \).

Ответ: \( b_1 = 5000 \)

5. Задача 5: Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 26, знаменатель прогрессии равен 3. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Известно: \( S_3 = 26 \) и \( q = 3 \). Нужно найти \( S_6 \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим первый член \( b_1 \) из формулы суммы трех членов: \( S_3 = \frac{b_1(q^3 - 1)}{q - 1} \), тогда \( b_1 = \frac{S_3(q - 1)}{q^3 - 1} \).
2. Шаг 2: Подставляем известные значения: \( b_1 = \frac{26(3 - 1)}{3^3 - 1} = \frac{26 \cdot 2}{27 - 1} = \frac{52}{26} = 2 \).
3. Шаг 3: Теперь находим сумму первых шести членов: \( S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} \).
4. Шаг 4: Вычисляем: \( S_6 = \frac{2(729 - 1)}{2} = 728 \).

Ответ: \( S_6 = 728 \)