Вариант 2 •1. Решите неравенство: a) 5x2 + 3x - 8 > 0; б) x2 -16>0 ; в) 2х2-4х ≥ 0. •2. Решите неравенство, используя метод интервалов: (x + 8) (x-5) (x + 10) < 0. 5.* При каких значениях в уравнение 25x² + tx + 1 = 0 не имеет корней? 4. Решите неравенство: 6x+9 2x-4 a) x-8 <0; б) x+6 ≤ 4. 3. Найдите область определения функции: y=√4x-9x²;

Вариант 2

•1. Решите неравенство:

а) \(5x^2 + 3x - 8 > 0\)

Решим квадратное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни квадратного уравнения \(5x^2 + 3x - 8 = 0\):

\[D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 9 + 160 = 169\] \[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 13}{10} = \frac{10}{10} = 1\] \[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 - 13}{10} = \frac{-16}{10} = -1.6\]

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители: \(5(x - 1)(x + 1.6) > 0\) или \((x - 1)(x + 1.6) > 0\).

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

++++++(-1.6)------(1)++++++

Решением неравенства являются интервалы \((-\infty; -1.6)\) и \((1; +\infty)\).

б) \(x^2 - 16 > 0\)

Решим неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни уравнения \(x^2 - 16 = 0\):

\[x^2 = 16\]\[x = \pm 4\]

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

++++++(-4)------(4)++++++

Решением неравенства являются интервалы \((-\infty; -4)\) и \((4; +\infty)\).

в) \(2x^2 - 4x \ge 0\)

Решим неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни уравнения \(2x^2 - 4x = 0\):

\[2x(x - 2) = 0\]\[x_1 = 0, x_2 = 2\]

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

++++++(0)------(2)++++++

Решением неравенства являются интервалы \((-\infty; 0]\) и \([2; +\infty)\).

•2. Решите неравенство, используя метод интервалов: \((x + 8) (x - 5) (x + 10) < 0\)

Найдем корни уравнения \((x + 8)(x - 5)(x + 10) = 0\):

\[x_1 = -8, x_2 = 5, x_3 = -10\]

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

----(-10)++++++(-8)----(5)++++++

Решением неравенства являются интервалы \((-\infty; -10)\) и \((-8; 5)\).

5.* При каких значениях t уравнение \(25x^2 + tx + 1 = 0\) не имеет корней?

Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант меньше нуля:

\[D = t^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 < 0\]\[t^2 - 100 < 0\]\[(t - 10)(t + 10) < 0\]

Решим неравенство методом интервалов:

----(-10)++++++(10)------

Решением неравенства является интервал \((-10; 10)\). Таким образом, уравнение не имеет корней при \(t \in (-10; 10)\).

4. Решите неравенство:

a) \(\frac{6x + 9}{x - 8} < 0\)

Решим неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя:

\[6x + 9 = 0 \Rightarrow x = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2} = -1.5\]\[x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\]

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

++++++(-1.5)------(8)++++++

Решением неравенства является интервал \((-1.5; 8)\).

б) \(\frac{2x - 4}{x + 6} \le 4\)

Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю:

\[\frac{2x - 4}{x + 6} - 4 \le 0\]\[\frac{2x - 4 - 4(x + 6)}{x + 6} \le 0\]\[\frac{2x - 4 - 4x - 24}{x + 6} \le 0\]\[\frac{-2x - 28}{x + 6} \le 0\]\[\frac{x + 14}{x + 6} \ge 0\]

Найдем нули числителя и знаменателя:

\[x + 14 = 0 \Rightarrow x = -14\]\[x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6\]

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

++++++(-14)------(-6)++++++

Решением неравенства являются интервалы \((-\infty; -14]\) и \((-6; +\infty)\).

3. Найдите область определения функции: \(y = \sqrt{4x - 9x^2}\)

Область определения функции - это множество значений x, при которых подкоренное выражение неотрицательно:

\[4x - 9x^2 \ge 0\]\[x(4 - 9x) \ge 0\]

Найдем нули выражения:

\[x = 0, 4 - 9x = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{9}\]

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

-----(0)++++++(4/9)------

Область определения функции: \([0; \frac{4}{9}]\).

Ответ: Решения выше