Вариант 1 •1. Решите неравенство: a) 2x213x + 6 < 0; б) x²-9>0; в) 3х26х70. •2. Решите неравенство, используя метод интервалов: (x + 8) (x-4) (x + 1) > 0. 5.* При каких значениях р уравнение 2x² + px + 2 = 0 имеет два корня? 4. Решите неравенство: 5x+1 x-2 a) x-6 <0; б) x +4 ≥ 2. 3. Найдите область определения функции: y = √2x-3x²

Вариант 1

•1. Решите неравенство:

а) \(2x^2 - 13x + 6 < 0\)

Решим квадратное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 - 13x + 6 = 0\):

\[D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121\]\[x_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6\] \[x_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители: \(2(x - 6)(x - \frac{1}{2}) < 0\) или \((x - 6)(2x - 1) < 0\).

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

--------(1/2)++++++(6)------

Решением неравенства является интервал \((\frac{1}{2}; 6)\).

б) \(x^2 - 9 > 0\)

Решим неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни уравнения \(x^2 - 9 = 0\):

\[x^2 = 9\]\[x = \pm 3\]

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

++++++(-3)------(3)++++++

Решением неравенства являются интервалы \((-\infty; -3)\) и \((3; +\infty)\).

в) \(3x^2 - 6x \ge 0\)

Решим неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни уравнения \(3x^2 - 6x = 0\):

\[3x(x - 2) = 0\]\[x_1 = 0, x_2 = 2\]

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

++++++(0)------(2)++++++

Решением неравенства являются интервалы \((-\infty; 0]\) и \([2; +\infty)\).

•2. Решите неравенство, используя метод интервалов: \((x + 8) (x - 4) (x + 1) > 0\)

Найдем корни уравнения \((x + 8)(x - 4)(x + 1) = 0\):

\[x_1 = -8, x_2 = 4, x_3 = -1\]

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

----(-8)++++++(-1)----(4)++++++

Решением неравенства являются интервалы \((-8; -1)\) и \((4; +\infty)\).

5.* При каких значениях p уравнение \(2x^2 + px + 2 = 0\) имеет два корня?

Квадратное уравнение имеет два корня, если его дискриминант больше нуля:

\[D = p^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 > 0\]\[p^2 - 16 > 0\]\[(p - 4)(p + 4) > 0\]

Решим неравенство методом интервалов:

++++++(-4)------(4)++++++

Решением неравенства являются интервалы \((-\infty; -4)\) и \((4; +\infty)\). Таким образом, уравнение имеет два корня при \(p \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)\).

4. Решите неравенство:

a) \(\frac{5x + 1}{x - 6} < 0\)

Решим неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя:

\[5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{5}\]\[x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\]

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

++++++(-1/5)------(6)++++++

Решением неравенства является интервал \((-\frac{1}{5}; 6)\).

б) \(\frac{x - 2}{x + 4} \ge 2\)

Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю:

\[\frac{x - 2}{x + 4} - 2 \ge 0\]\[\frac{x - 2 - 2(x + 4)}{x + 4} \ge 0\]\[\frac{x - 2 - 2x - 8}{x + 4} \ge 0\]\[\frac{-x - 10}{x + 4} \ge 0\]\[\frac{x + 10}{x + 4} \le 0\]

Найдем нули числителя и знаменателя:

\[x + 10 = 0 \Rightarrow x = -10\]\[x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\]

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

++++++(-10)------(-4)++++++

Решением неравенства является интервал \([-10; -4)\).

3. Найдите область определения функции: \(y = \sqrt{2x - 3x^2}\)

Область определения функции - это множество значений x, при которых подкоренное выражение неотрицательно:

\[2x - 3x^2 \ge 0\]\[x(2 - 3x) \ge 0\]

Найдем нули выражения:

\[x = 0, 2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\]

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

-----(0)++++++(2/3)------

Область определения функции: \([0; \frac{2}{3}]\).

Ответ: Решения выше