Вариант 1 •1. Решите систему уравнений [x-2y = 1, (xy + y = 12. К-5 (§ 7, 8) •2. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника. 3. Не выполняя построения, найдите координаты то- чек пересечения окружности х² + у² = 5 и прямой x + 3y = 7. 4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств [x² + y² ≤ 9, y-x≤1. 11-1 5. Решите систему уравнений хув' 5x - y = 9.

1. Решение системы уравнений

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - 2y = 1, \\ xy + y = 12. \end{cases} $$

1. Выразим x из первого уравнения:
$$x = 2y + 1$$
2. Подставим x во второе уравнение:
$$(2y + 1)y + y = 12$$

$$2y^2 + y + y = 12$$ $$2y^2 + 2y - 12 = 0$$ $$y^2 + y - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно y:

$$y^2 + y - 6 = 0$$ $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Найдем соответствующие значения x:

1. Если y = 2:
$$x = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$$
2. Если y = -3:
$$x = 2(-3) + 1 = -6 + 1 = -5$$

Таким образом, решения системы уравнений:

$$(5, 2), (-5, -3)$$

Ответ: (5, 2), (-5, -3)

2. Нахождение сторон прямоугольника

Пусть одна сторона прямоугольника равна a, тогда другая сторона равна a + 7. Диагональ прямоугольника равна 13 см.

По теореме Пифагора:

$$a^2 + (a + 7)^2 = 13^2$$ $$a^2 + a^2 + 14a + 49 = 169$$ $$2a^2 + 14a + 49 - 169 = 0$$ $$2a^2 + 14a - 120 = 0$$ $$a^2 + 7a - 60 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно a:

$$a^2 + 7a - 60 = 0$$ $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289$$ $$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, то a = 5.

Тогда другая сторона равна:

$$a + 7 = 5 + 7 = 12$$

Стороны прямоугольника: 5 см и 12 см.

Ответ: 5 см, 12 см

3. Координаты точек пересечения окружности и прямой

Найдем координаты точек пересечения окружности $$x^2 + y^2 = 5$$ и прямой $$x + 3y = 7$$.

1. Выразим x из уравнения прямой:
$$x = 7 - 3y$$
2. Подставим x в уравнение окружности:
$$(7 - 3y)^2 + y^2 = 5$$ $$49 - 42y + 9y^2 + y^2 = 5$$ $$10y^2 - 42y + 44 = 0$$ $$5y^2 - 21y + 22 = 0$$
3. Решим квадратное уравнение относительно y:
$$5y^2 - 21y + 22 = 0$$ $$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4(5)(22) = 441 - 440 = 1$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + 1}{10} = \frac{22}{10} = 2.2$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - 1}{10} = \frac{20}{10} = 2$$
4. Найдем соответствующие значения x:
1. Если y = 2.2:
$$x = 7 - 3(2.2) = 7 - 6.6 = 0.4$$
2. Если y = 2:
$$x = 7 - 3(2) = 7 - 6 = 1$$

Таким образом, координаты точек пересечения:

$$(0.4, 2.2), (1, 2)$$

Ответ: (0.4, 2.2), (1, 2)

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств

Решения системы неравенств:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ y - x \le 1.\end{cases}$$

Множество решений представляет собой часть круга радиуса 3 с центром в начале координат, которая находится ниже прямой y = x + 1.

      y
      ^
      |
      |    * * * * * * * * * * * * * * * * * *
      |   *                           *   
      |  *                             *  
      | *                               * 
      |*                                 *
      +------------------------------------> x
     *
    *   
   *
  *
 

5. Решение системы уравнений

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}, \\ 5x - y = 9. \end{cases} $$

1. Выразим y из второго уравнения:
$$y = 5x - 9$$
2. Подставим y в первое уравнение:
$$\frac{1}{x} - \frac{1}{5x - 9} = \frac{1}{6}$$ $$\frac{5x - 9 - x}{x(5x - 9)} = \frac{1}{6}$$ $$\frac{4x - 9}{5x^2 - 9x} = \frac{1}{6}$$ $$6(4x - 9) = 5x^2 - 9x$$ $$24x - 54 = 5x^2 - 9x$$ $$5x^2 - 33x + 54 = 0$$
3. Решим квадратное уравнение относительно x:
$$5x^2 - 33x + 54 = 0$$ $$D = b^2 - 4ac = (-33)^2 - 4(5)(54) = 1089 - 1080 = 9$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{33 + 3}{10} = \frac{36}{10} = 3.6$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{33 - 3}{10} = \frac{30}{10} = 3$$
4. Найдем соответствующие значения y:
1. Если x = 3.6:
$$y = 5(3.6) - 9 = 18 - 9 = 9$$
2. Если x = 3:
$$y = 5(3) - 9 = 15 - 9 = 6$$

Таким образом, решения системы уравнений:

$$(3.6, 9), (3, 6)$$

Ответ: (3.6, 9), (3, 6)