Вариант 2 ① Найти ABC ② Найти высоты ABCD. ③ Найти площадь и высоту трапеции MNKP

Задание №1

Давай рассмотрим треугольник ABC. В нем угол A равен 45 градусам, а угол B - 90 градусов. Это значит, что угол C тоже равен 45 градусам (так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам). Так как углы A и C равны, то треугольник ABC - равнобедренный, и AB = BC = 4.

Теперь мы можем найти гипотенузу AC по теореме Пифагора: \[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.\]

Задание №2

Рассмотрим параллелограмм ABCD, где AB = 10, CD = 8, а угол D = 30 градусов. Чтобы найти высоту параллелограмма, проведем высоту BH из вершины B к стороне AD.

В прямоугольном треугольнике BDH, угол D = 30 градусов, и BH - катет, лежащий против угла в 30 градусов. Значит, BH = 0.5 * BD = 0.5 * 8 = 4.

Площадь параллелограмма равна основанию, умноженному на высоту: \[S = AD \cdot BH\]

Нам нужно найти AD. Рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем AB = 10, BD = 8, угол D = 30 градусов. По теореме косинусов: \[AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos{D}\] \[10^2 = AD^2 + 8^2 - 2 \cdot AD \cdot 8 \cdot \cos{30°}\] \[100 = AD^2 + 64 - 16 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[AD^2 - 8\sqrt{3}AD - 36 = 0\]

Решим это квадратное уравнение относительно AD. Дискриминант будет равен: \[D = (8\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 192 + 144 = 336\] \[AD = \frac{8\sqrt{3} \pm \sqrt{336}}{2} = 4\sqrt{3} \pm \sqrt{84}\]

Так как AD - длина, то берем только положительное значение: \[AD = 4\sqrt{3} + \sqrt{84} = 4\sqrt{3} + 2\sqrt{21}\]

Тогда площадь параллелограмма ABCD: \[S = (4\sqrt{3} + 2\sqrt{21}) \cdot 4 = 16\sqrt{3} + 8\sqrt{21}\]

Высота параллелограмма равна 4.

Задание №3

Давай рассмотрим трапецию MNKP. Площадь треугольника MKP равна 20 см², а основание MP равно 10 см. Площадь треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot MP \cdot h\] где h - высота треугольника MKP.

Подставим известные значения: \[20 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h\] \[20 = 5 \cdot h\] \[h = \frac{20}{5} = 4 \text{ см}\]

Высота трапеции MNKP равна высоте треугольника MKP, то есть 4 см.

Теперь найдем площадь трапеции MNKP. Нам нужно знать основания MN и KP. Из рисунка видно, что KP = MP = 10 см. А MN = 8 см.

Площадь трапеции равна: \[S = \frac{MN + KP}{2} \cdot h\] \[S = \frac{8 + 10}{2} \cdot 4 = \frac{18}{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36 \text{ см}^2\]

Ответ: 1) AC = 4\(\sqrt{2}\). 2) Высота параллелограмма равна 4, площадь равна 16\(\sqrt{3}\) + 8\(\sqrt{21}\). 3) Высота трапеции равна 4 см, площадь равна 36 см².

Отличная работа! Ты хорошо справился с заданиями по геометрии. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!