Вариант 2 ▲ 1. Через середину Е гипотенузы АВ прямоугольного тре- угольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр ЕМ, равный 4/5 см. АВ ВС = 16 см, ∠C=90°. Вычис- лите: а) расстояние от точки М до прямой АС; 6) площади треугольника АСМ и его проекции на плос- кость данного треугольника; ■ в) расстояние между прямыми ЕМ и ВС. • 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD1, основание которого квадрат. АС = 6√2 см, АВ₁ = 4√3 см. Вычислите градусную меру двугранного угла BADB.

1. Дано: прямоугольный треугольник ABC, E - середина AB, EM перпендикулярна плоскости ABC, EM = 4√5 см, AB = BC = 16 см, ∠C = 90°.

Найти:

а) расстояние от точки M до прямой AC;

б) площади треугольника ACM и его проекции на плоскость данного треугольника;

в) расстояние между прямыми EM и BC.

Решение:

a) Расстояние от точки M до прямой AC.

Так как ABC - прямоугольный треугольник, и AB = BC = 16 см, то треугольник ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике, AC = AB*√2 = 16√2 см.

E - середина AB, значит AE = EB = AB/2 = 16/2 = 8 см.

Проведем перпендикуляр из E к AC, назовем точку H. Тогда EH - средняя линия треугольника ABC и EH = BC/2 = 16/2 = 8 см.

Так как EM перпендикулярна плоскости ABC, то EM перпендикулярна EH. Значит, треугольник EMH - прямоугольный.

Тогда MH = √(EM² + EH²) = √((4√5)² + 8²) = √(16*5 + 64) = √(80 + 64) = √144 = 12 см.

Так как MH перпендикулярна AC, то расстояние от точки M до прямой AC равно MH = 12 см.

Ответ: 12 см

б) Площадь треугольника ACM и его проекции на плоскость данного треугольника.

Площадь треугольника ABC = (1/2) * BC * AC = (1/2) * 16 * 16 = 128 см².

Площадь треугольника ACE = (1/2) * AC * EH = (1/2) * 16√2 * 8 = 64√2 см².

Площадь треугольника ACM = (1/2) * AC * MH = (1/2) * 16√2 * 12 = 96√2 см².

Проекцией треугольника ACM на плоскость ABC является треугольник ACE. Площадь треугольника ACE = 64√2 см².

Ответ: 96√2 см²; 64√2 см²

в) Расстояние между прямыми EM и BC.

Так как EM перпендикулярна плоскости ABC, то EM перпендикулярна BC. Также, BC перпендикулярна AB (дано), и E - середина AB.

Проведем прямую через E параллельно BC. Тогда расстояние между прямыми EM и BC равно расстоянию от точки E до прямой BC. Это расстояние равно половине AC, так как E - середина AB.

Тогда расстояние между EM и BC = AC/2 = (16√2)/2 = 8√2 см.

Ответ: 8√2 см

2. Дано: прямоугольный параллелепипед ABCDABCD₁, основание - квадрат, AC = 6√2 см, AB₁ = 4√3 см.

Вычислить градусную меру двугранного угла B₁ADB.

Решение:

Так как ABCD - квадрат, то AC = AB * √2. Следовательно, AB = AC / √2 = (6√2) / √2 = 6 см.

В прямоугольном треугольнике ABB₁, AB₁² = AB² + BB₁². Значит, BB₁ = √(AB₁² - AB²) = √((4√3)² - 6²) = √(48 - 36) = √12 = 2√3 см.

Пусть O - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Тогда AO = AC / 2 = (6√2) / 2 = 3√2 см. И OD = AO = 3√2 см.

В треугольнике B₁OD, ∠B₁DO - угол между B₁D и OD. B₁D = √(BB₁² + BD²) = √((2√3)² + (6√2)²) = √(12 + 72) = √84 = 2√21 см.

Угол B₁DO = arctan(BB₁ / OD) = arctan((2√3) / (3√2)) = arctan((2√3 * √2) / (3*2)) = arctan(√6 / 3).

В треугольнике ABD, AD = AB = 6 см. ∠ADB = 45°.

Тогда искомый угол B₁ADB = ∠B₁DO + ∠ADB = arctan(√6 / 3) + 45°.

Приближенно arctan(√6 / 3) ≈ 39.23°. Тогда угол B₁ADB ≈ 39.23° + 45° ≈ 84.23°.

Ответ: 84.23°