Вариант 1 ▲ 1. Через середину М стороны AD квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр МК, равный 643 см. Сто- рона квадрата равна 12 см. Вычислите: а) расстояние от точки К до прямой ВС; 6) площади треугольника АКВ и его проекции на плос- кость квадрата; в) расстояние между прямыми АК И ВС. • 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD АС 13 см, DC-5 см, А4-12√3 см. Вычислите градус ную меру двугранного угла ADCA

a) Расстояние от K до прямой BC

• Проведем KN перпендикулярно BC. Так как MK перпендикулярна плоскости ABCD, то KN также перпендикулярна BC.
• Расстояние от K до BC равно KN.
• KN = \( \sqrt{KM^2 + MN^2} \)
• MN = AB + AM = 12 + 6 = 18 см
• KN = \( \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 18^2} = \sqrt{108 + 324} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \) см

б) Площадь треугольника AKB и его проекции

• Проекция треугольника AKB на плоскость квадрата - треугольник AMB.
• Площадь проекции: \( S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 = 36 \) см²
• Найдем площадь треугольника AKB.
• Выразим AK: \( AK = \sqrt{AM^2 + MK^2} = \sqrt{6^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12 \) см
• \( S_{AKB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \), где h - высота к стороне AB.
• Найдем высоту h.
• \( h = \sqrt{AK^2 - (\frac{AB}{2})^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \) см
• \( S_{AKB} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \) см²

в) Расстояние между прямыми AK и BC

• Расстояние между AK и BC равно расстоянию от точки A до прямой BC, так как AK и BC параллельны.
• Это расстояние равно стороне квадрата, то есть 12 см.

• Двугранный угол ADCA₁ - это угол между плоскостями ADC и ADCA₁.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC:
• AD = \( \sqrt{AC^2 - DC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \) см
• Угол между плоскостями ADC и ADCA₁ - это угол DCA₁.
• \( tg(\angle DCA_1) = \frac{AA_1}{AD} = \frac{12\sqrt{3}}{12} = \sqrt{3} \)
• Следовательно, \( \angle DCA_1 = 60^\circ \)