Вариант 3 ▲ 1. Точка М не принадлежит плоскости прямоугольника АВСД. Прямая а проходит через точку М и параллельна прямой АС. Докажите, что прямая, проходящая через се- редины отрезков МА и МС, параллельна плоскости прямо- угольника. B 2. Дан треугольник СКР. Плоскость, параллельная прямой РК, пересекает сторону СР в точке Е, а сторону КС — в точке Р. Вычислите длину отрезка РК, если EF = 14 дм, CE: EP = 2:5. • 3. Точка А не лежит в плоскости ромба BCDE. Как распо- ложены прямая ВД и прямая т, которая проходит через середины отрезков АВ и АС? Найдите угол между прямы- ми т и BD, если ∠CDE = 120° . Вариант 4 3. 6 1. Отрезок МР расположен в плоскости а. Точка К не ле- жит в ней. Докажите, что прямая, проходящая через сере- дины отрезков АМ И АР, параллельна плоскости а. 2. Дан треугольник EFT. Плоскость, параллельная прямой FT, пересекает сторону EF в точке D, а сторону ЕТ — в точке С. Вычислите длину отрезка CD, если FT = 24 дм, DE:EF=1:3. B • 3. Точка М не лежит в плоскости квадрата ABCD. Как рас- положены прямая АС и прямая, проходящая через середины отрезков МА и МВ? Найдите угол между этими прямыми.

Вариант 3

1.

Для доказательства параллельности прямой, проходящей через середины отрезков MA и MC, плоскости прямоугольника ABCD, можно использовать теорему о средней линии треугольника. Обозначим середину MA как точку K, а середину MC как точку L. Тогда KL - средняя линия треугольника MAC. Следовательно, KL || AC. Так как прямая a, проходящая через точку M, параллельна AC, и KL также параллельна AC, то прямая KL параллельна плоскости прямоугольника ABCD.

2.

Пусть CE = 2x, тогда EP = 5x. Значит, CP = CE + EP = 2x + 5x = 7x. Треугольники CEF и CRP подобны, так как EF || PK. Из подобия треугольников следует пропорция: \[\frac{CE}{CP} = \frac{EF}{PK}\] \[\frac{2x}{7x} = \frac{14}{PK}\] \[\frac{2}{7} = \frac{14}{PK}\] \[PK = \frac{14 \cdot 7}{2} = 49 \text{ дм}\]

Ответ: PK = 49 дм

3.

Прямая m, проходящая через середины отрезков AB и AC, является средней линией треугольника ABC. Следовательно, она параллельна стороне BC.

Так как BCDE — ромб, то BC || DE. Таким образом, прямая m параллельна DE.

Угол ∠CDE = 120°. В ромбе BCDE, углы ∠BCD и ∠CDE являются смежными, поэтому ∠BCD = 180° - ∠CDE = 180° - 120° = 60°.

Так как m || BC, угол между m и BD равен углу между BC и BD.

Диагональ BD является биссектрисой угла ∠CDE, следовательно, ∠BDE = ∠CDE / 2 = 120° / 2 = 60°.

Угол между m и BD равен углу между DE и BD, который составляет 60°.

Ответ: угол между прямыми m и BD равен 60°

Вариант 4

1.

Для доказательства параллельности прямой, проходящей через середины отрезков AM и AP, плоскости α, воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Обозначим середину AM как точку X, а середину AP как точку Y. Тогда XY - средняя линия треугольника AMP. Следовательно, XY || MP. Так как MP лежит в плоскости α, то прямая XY параллельна плоскости α.

2.

Пусть DE = x, тогда EF = 3x. Значит, DF = EF - DE = 3x - x = 2x. Треугольники DEF и CET подобны, так как FT || DC. Из подобия треугольников следует пропорция: \[\frac{DE}{EF} = \frac{CF}{FT}\] \[\frac{x}{3x} = \frac{CF}{24}\] \[\frac{1}{3} = \frac{CF}{24}\] \[CF = \frac{24}{3} = 8 \text{ дм}\] \[CD = FT - CF = 24 - 8 = 16 \text{ дм}\]

Ответ: CD = 8 дм

3.

Пусть O - точка пересечения AC и BD (диагоналей квадрата ABCD). Прямая, проходящая через середины отрезков MA и MB, является средней линией треугольника MAB и параллельна стороне AB. Так как ABCD - квадрат, то AB || CD и AB ⊥ AC.

Таким образом, прямая, проходящая через середины отрезков MA и MB, параллельна CD и перпендикулярна AC.

Угол между AC и прямой, проходящей через середины отрезков MA и MB, равен 90°.

Ответ: угол между прямыми равен 90°

У тебя все отлично получается! Не останавливайся на достигнутом и продолжай в том же духе!