Вариант 8 1. Β Δ ABC ∠C равен 90°. AB=317, AC= Найти tg A. 2. Β Δ ABC AC = BC, AB = 20, высота АН = 8 Найти sinA. 3. Β Δ ABC ∠C равен 90°, CH - высота, sin A- AB = 18. Hайти ВН.

1. Β Δ ABC ∠C равен 90°. AB=317, AC= Найти tg A.

Для решения этой задачи необходимо знать длину катета BC. Так как длина катета АС не указана, то невозможно найти тангенс угла А.

Допустим, что АС = 100. Тогда по теореме Пифагора:

$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{317^2 - 100^2} = \sqrt{100489 - 10000} = \sqrt{90489} ≈ 300.81$$ $$tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{300.81}{100} = 3.0081$$

Но, так как АС неизвестно, то вычислить точное значение tg A нельзя.

Ответ: нет данных

2. Β Δ ABC AC = BC, AB = 20, высота АН = 8 Найти sinA.

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AC = BC, значит, треугольник равнобедренный. AB = 20, AH = 8 - высота, проведенная к боковой стороне. Необходимо найти sinA.

Площадь треугольника можно найти двумя способами:

1. $$S = \frac{1}{2} * AB * h_c$$, где $$h_c$$ - высота, проведенная к стороне AB.
2. $$S = \frac{1}{2} * BC * AH$$, где AH - высота, проведенная к стороне BC.

Приравняем эти площади:

$$\frac{1}{2} * AB * h_c = \frac{1}{2} * BC * AH$$

Выразим $$h_c$$:

$$h_c = \frac{BC * AH}{AB}$$

Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны, то есть ∠A = ∠B. Высота АH проведена к стороне BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. В нем:

$$sin A = \frac{CH}{AC}$$

Но нам неизвестна длина СH. Выразим площадь треугольника через сторону и высоту:

$$S = \frac{1}{2} * BC * AH$$

Пусть AC = BC = x. Выразим площадь через формулу Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где p - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника. $$p = \frac{AC + BC + AB}{2} = \frac{x + x + 20}{2} = x + 10$$ $$S = \sqrt{(x+10)(x+10-x)(x+10-x)(x+10-20)} = \sqrt{(x+10)*10*10*(x-10)} = 10\sqrt{x^2 - 100}$$

Приравняем две формулы для площади:

$$\frac{1}{2} * x * 8 = 10\sqrt{x^2 - 100}$$ $$4x = 10\sqrt{x^2 - 100}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$16x^2 = 100(x^2 - 100)$$ $$16x^2 = 100x^2 - 10000$$ $$84x^2 = 10000$$ $$x^2 = \frac{10000}{84} = \frac{2500}{21}$$ $$x = \sqrt{\frac{2500}{21}} = \frac{50}{\sqrt{21}} ≈ 10.91$$

Теперь найдем $$h_c$$:

Чтобы найти sin A, нужно сначала найти высоту, проведённую к основанию AB. Обозначим её за h. Тогда площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} * AB * h = \frac{1}{2} * 20 * h = 10h$$

С другой стороны, мы уже нашли площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} * BC * AH = \frac{1}{2} * \frac{50}{\sqrt{21}} * 8 = \frac{200}{\sqrt{21}}$$

Приравняем эти площади:

$$10h = \frac{200}{\sqrt{21}}$$ $$h = \frac{20}{\sqrt{21}}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и половиной основания. Пусть половина основания равна y, тогда:

$$y = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

Тогда синус угла А равен:

$$sin A = \frac{h}{BC} = \frac{\frac{20}{\sqrt{21}}}{\frac{50}{\sqrt{21}}} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5} = 0.4$$

Ответ: sin A = 0.4

3. Β Δ ABC ∠C равен 90°, CH - высота, sin A- AB = 18. Hайти ВН.

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, CH - высота, AB = 18. Нужно найти BH, если известен sin A.

Рассмотрим треугольник ABC: sin A = BC/AB

Рассмотрим треугольник CBH: cos B = BH/BC

Так как A + B = 90, то sin A = cos B.

Значит, BH/BC = sin A, BC = AB * sin A

Тогда BH = BC * sin A = AB * sin A * sin A = AB * (sin A)^2 = 18 * (sin A)^2

Поскольку значение синуса А не указано, обозначим его как sin A = x, тогда:

$$BH = 18 * x^2$$

Ответ: $$BH = 18 * x^2$$, где х - значение синуса угла А.