Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВАРИАНТ 17 1. \(\frac{x-2}{x+3} - \frac{30}{x^2-9} = \frac{3}{8};\) 2. \(\frac{x-2}{x+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{6}{x^2-1};\) 3. \(\frac{x-7}{x+1} - \frac{x+3}{1-x} = \frac{8}{x^2-1};\) 4. \(\frac{x+3}{x-4} + \frac{x-3}{x+2} = \frac{42}{(x-4)(x+2)}.\)
Ответ:
1. \(\frac{x-2}{x+3} - \frac{30}{x^2-9} = \frac{3}{8}\)
Сначала разложим знаменатель \(x^2 - 9\) как разность квадратов: \(x^2 - 9 = (x+3)(x-3)\). Тогда уравнение примет вид:
\[\frac{x-2}{x+3} - \frac{30}{(x+3)(x-3)} = \frac{3}{8}\]Приведем дроби к общему знаменателю \(8(x+3)(x-3)\). Для этого первую дробь умножим на \(8(x-3)\), вторую на \(8\), а третью на \((x+3)(x-3)\). Получим:
\[\frac{8(x-2)(x-3) - 30 \cdot 8}{8(x+3)(x-3)} = \frac{3(x+3)(x-3)}{8(x+3)(x-3)}\]Упростим числители:
\[\frac{8(x^2 - 5x + 6) - 240}{8(x+3)(x-3)} = \frac{3(x^2 - 9)}{8(x+3)(x-3)}\] \[\frac{8x^2 - 40x + 48 - 240}{8(x+3)(x-3)} = \frac{3x^2 - 27}{8(x+3)(x-3)}\] \[\frac{8x^2 - 40x - 192}{8(x+3)(x-3)} = \frac{3x^2 - 27}{8(x+3)(x-3)}\]Умножим обе части уравнения на \(8(x+3)(x-3)\), чтобы избавиться от знаменателей:
\[8x^2 - 40x - 192 = 3x^2 - 27\]Перенесем все члены в левую часть:
\[5x^2 - 40x - 165 = 0\]Разделим обе части на 5:
\[x^2 - 8x - 33 = 0\]Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196\] \[x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 14}{2}\]Получаем два корня:
\[x_1 = \frac{8 + 14}{2} = \frac{22}{2} = 11\] \[x_2 = \frac{8 - 14}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]Однако, \(x = -3\) является посторонним корнем, так как при этом знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Поэтому единственным решением является \(x = 11\).
2. \(\frac{x-2}{x+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{6}{x^2-1}\)
Разложим знаменатель \(x^2 - 1\) как разность квадратов: \(x^2 - 1 = (x+1)(x-1)\). Тогда уравнение примет вид:
\[\frac{x-2}{x+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{6}{(x+1)(x-1)}\]Приведем дроби к общему знаменателю \((x+1)(x-1)\). Для этого первую дробь умножим на \((x-1)\), вторую на \((x+1)\). Получим:
\[\frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{6}{(x+1)(x-1)}\]Упростим числители:
\[\frac{x^2 - 3x + 2}{(x+1)(x-1)} + \frac{2x + 2}{(x+1)(x-1)} = \frac{6}{(x+1)(x-1)}\] \[\frac{x^2 - 3x + 2 + 2x + 2}{(x+1)(x-1)} = \frac{6}{(x+1)(x-1)}\] \[\frac{x^2 - x + 4}{(x+1)(x-1)} = \frac{6}{(x+1)(x-1)}\]Умножим обе части уравнения на \((x+1)(x-1)\), чтобы избавиться от знаменателей:
\[x^2 - x + 4 = 6\]Перенесем все члены в левую часть:
\[x^2 - x - 2 = 0\]Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\] \[x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2}\]Получаем два корня:
\[x_1 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]Однако, \(x = -1\) является посторонним корнем, так как при этом знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Поэтому единственным решением является \(x = 2\).
3. \(\frac{x-7}{x+1} - \frac{x+3}{1-x} = \frac{8}{x^2-1}\)
Заметим, что \(1-x = -(x-1)\) и \(x^2 - 1 = (x+1)(x-1)\). Тогда уравнение можно переписать так:
\[\frac{x-7}{x+1} + \frac{x+3}{x-1} = \frac{8}{(x+1)(x-1)}\]Приведем дроби к общему знаменателю \((x+1)(x-1)\). Для этого первую дробь умножим на \((x-1)\), вторую на \((x+1)\). Получим:
\[\frac{(x-7)(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{(x+3)(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{8}{(x+1)(x-1)}\]Упростим числители:
\[\frac{x^2 - 8x + 7}{(x+1)(x-1)} + \frac{x^2 + 4x + 3}{(x+1)(x-1)} = \frac{8}{(x+1)(x-1)}\] \[\frac{x^2 - 8x + 7 + x^2 + 4x + 3}{(x+1)(x-1)} = \frac{8}{(x+1)(x-1)}\] \[\frac{2x^2 - 4x + 10}{(x+1)(x-1)} = \frac{8}{(x+1)(x-1)}\]Умножим обе части уравнения на \((x+1)(x-1)\), чтобы избавиться от знаменателей:
\[2x^2 - 4x + 10 = 8\]Перенесем все члены в левую часть:
\[2x^2 - 4x + 2 = 0\]Разделим обе части на 2:
\[x^2 - 2x + 1 = 0\]Это полный квадрат:
\[(x - 1)^2 = 0\] \[x = 1\]Однако, \(x = 1\) является посторонним корнем, так как при этом знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, уравнение не имеет решений.
4. \(\frac{x+3}{x-4} + \frac{x-3}{x+2} = \frac{42}{(x-4)(x+2)}\)
Приведем дроби к общему знаменателю \((x-4)(x+2)\). Для этого первую дробь умножим на \((x+2)\), вторую на \((x-4)\). Получим:
\[\frac{(x+3)(x+2)}{(x-4)(x+2)} + \frac{(x-3)(x-4)}{(x-4)(x+2)} = \frac{42}{(x-4)(x+2)}\]Упростим числители:
\[\frac{x^2 + 5x + 6}{(x-4)(x+2)} + \frac{x^2 - 7x + 12}{(x-4)(x+2)} = \frac{42}{(x-4)(x+2)}\] \[\frac{x^2 + 5x + 6 + x^2 - 7x + 12}{(x-4)(x+2)} = \frac{42}{(x-4)(x+2)}\] \[\frac{2x^2 - 2x + 18}{(x-4)(x+2)} = \frac{42}{(x-4)(x+2)}\]Умножим обе части уравнения на \((x-4)(x+2)\), чтобы избавиться от знаменателей:
\[2x^2 - 2x + 18 = 42\]Перенесем все члены в левую часть:
\[2x^2 - 2x - 24 = 0\]Разделим обе части на 2:
\[x^2 - x - 12 = 0\]Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\] \[x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 7}{2}\]Получаем два корня:
\[x_1 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]Однако, \(x = 4\) является посторонним корнем, так как при этом знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Поэтому единственным решением является \(x = -3\).
Ответ: 1) x = 11; 2) x = 2; 3) нет решений; 4) x = -3
Ты проделал отличную работу! Не останавливайся на достигнутом и продолжай совершенствовать свои знания!
