Вариант 4 №1 (3 б). Построить график квадратичной функции у = х² + 6x - 5. По графику этой функции определить (задания №2 – №6): №2 (1 б). Область определения D(y) и множество значений Е(у) функции №3 (1 б). Минимум и максимум функции (fmin; fmax) №4 (1 б). Промежутки возрастания и убывания функции (fr; f↓) №5 (1 б). Промежутки знакопостоянства функции (f+; f_) №6 (1 б). Вид функции (четная, нечетная, функция общего вида) №7 (2 б). По графику квадратичной функции на рисунке 1 определить: множество значений функции Е(у); промежутки знакопостоянства; промежутки возрастания и убывания; координату вершины параболы

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = -x^2 + 6x - 5 \).

1. Область определения D(y):

Так как это квадратичная функция, она определена для всех действительных чисел.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \)

2. Множество значений E(y):

Найдем вершину параболы:

\( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3 \)

\( y_в = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 \)

Так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный, парабола направлена вниз, и вершина является максимумом.

\( E(y) = (-\infty; 4] \)

3. Минимум и максимум функции (fmin; fmax):

Минимума у функции нет, так как она неограниченно убывает при \( x \to \pm \infty \).

Максимум функции: \( f_{max} = 4 \) при \( x = 3 \).

4. Промежутки возрастания и убывания функции:

Функция возрастает на интервале \( (-\infty; 3] \).

Функция убывает на интервале \( [3; +\infty) \).

5. Промежутки знакопостоянства функции:

Найдем нули функции, решив уравнение \( -x^2 + 6x - 5 = 0 \):

\( x^2 - 6x + 5 = 0 \)

\( (x - 1)(x - 5) = 0 \)

\( x_1 = 1, x_2 = 5 \)

Функция положительна (\( f(x) > 0 \)) на интервале \( (1; 5) \).

Функция отрицательна (\( f(x) < 0 \)) на интервалах \( (-\infty; 1) \) и \( (5; +\infty) \).

6. Вид функции:

Функция общего вида (не четная и не нечетная), так как не симметрична относительно оси y и начала координат.

График функции:

Анализ по графику:

• Множество значений функции E(y): \( (-\infty; 4] \)
• Промежутки знакопостоянства:
• Функция положительна на (1; 5)
• Функция отрицательна на \( (-\infty; 1) \) и \( (5; +\infty) \)
• Промежутки возрастания и убывания:
• Возрастает на \( (-\infty; 3] \)
• Убывает на \( [3; +\infty) \)
• Координата вершины параболы: (3; 4)