ВАРИАНТ № 15. 1. Даны точки А(3; −1); В(2; 4); C(2;5). Найти а) а = АВ, Б = AC, C = CB; б) Б-22 (выполнить в координатной форме и графически); в) а+26 (выполнить в координатной форме и графически); г) найти угол между векторами аи Б. 2. Даны точки A(-4;2;5); B(3;-5;-3); C(2; 6;4); D(2;0;7). а) вычислить б) найти ЅАВС; (2AB+3CD) (AC-BD) в) построить пирамиду.

1. Даны точки А(3; −1); В(2; 4); C(2;5).

а) Найти векторы \(\vec{a} = \overrightarrow{AB}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{AC}\), \(\vec{c} = \overrightarrow{CB}\):

• \(\vec{a} = \overrightarrow{AB} = B - A = (2-3; 4-(-1)) = (-1; 5)\)
• \(\vec{b} = \overrightarrow{AC} = C - A = (2-3; 5-(-1)) = (-1; 6)\)
• \(\vec{c} = \overrightarrow{CB} = B - C = (2-2; 4-5) = (0; -1)\)

б) Найти \(\vec{b} - 2\vec{c}\) (в координатной форме и графически):

• \(2\vec{c} = 2(0; -1) = (0; -2)\)
• \(\vec{b} - 2\vec{c} = (-1; 6) - (0; -2) = (-1-0; 6-(-2)) = (-1; 8)\)

в) Найти \(\vec{a} + 2\vec{b}\) (в координатной форме и графически):

• \(2\vec{b} = 2(-1; 6) = (-2; 12)\)
• \(\vec{a} + 2\vec{b} = (-1; 5) + (-2; 12) = (-1-2; 5+12) = (-3; 17)\)

г) Найти угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) можно найти по формуле: \[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\]

• \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(-1) + (5)(6) = 1 + 30 = 31\)
• \(|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}\)\)
• \(|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}\)\)
• \(\cos(\theta) = \frac{31}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{37}} = \frac{31}{\sqrt{962}} \approx \frac{31}{31.016} \approx 0.9995\)
• \(\theta = \arccos(0.9995) \approx 1.018^\circ\)

2. Даны точки A(-4;2;5); B(3;-5;-3); C(2; 6;4); D(2;0;7).

а) Вычислить \((2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{CD}) \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD})\)

• \(\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (-4); -5 - 2; -3 - 5) = (7; -7; -8)\)
• \(\overrightarrow{CD} = D - C = (2 - 2; 0 - 6; 7 - 4) = (0; -6; 3)\)
• \(\overrightarrow{AC} = C - A = (2 - (-4); 6 - 2; 4 - 5) = (6; 4; -1)\)
• \(\overrightarrow{BD} = D - B = (2 - 3; 0 - (-5); 7 - (-3)) = (-1; 5; 10)\)

Тогда,

• \(2\overrightarrow{AB} = 2(7; -7; -8) = (14; -14; -16)\)
• \(3\overrightarrow{CD} = 3(0; -6; 3) = (0; -18; 9)\)
• \(2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{CD} = (14; -14; -16) + (0; -18; 9) = (14; -32; -7)\)
• \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = (6; 4; -1) - (-1; 5; 10) = (7; -1; -11)\)

Теперь вычислим скалярное произведение: \[(2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{CD}) \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD}) = (14)(7) + (-32)(-1) + (-7)(-11) = 98 + 32 + 77 = 207\]

б) Найти площадь \(S_{ABC}\):

Площадь треугольника ABC можно найти как половину модуля векторного произведения векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

• \(\overrightarrow{AB} = (7; -7; -8)\)
• \(\overrightarrow{AC} = (6; 4; -1)\)

Векторное произведение \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\) равно: \[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = ((-7)(-1) - (-8)(4); (-8)(6) - (7)(-1); (7)(4) - (-7)(6)) = (7 + 32; -48 + 7; 28 + 42) = (39; -41; 70)\]

Модуль этого вектора: \[|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{39^2 + (-41)^2 + 70^2} = \sqrt{1521 + 1681 + 4900} = \sqrt{8102} \approx 90.01\]

Площадь треугольника: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{8102} \approx 45.005\]

в) Построить пирамиду.

Для построения пирамиды нужно знать координаты четвертой вершины. Обозначим ее как E(x, y, z). Объем пирамиды можно вычислить, используя смешанное произведение векторов. Однако, для построения достаточно знать координаты всех вершин.

Ответ: