ВАРИАНТ № 6. 1. Даны точки А( 1; −3); В( 2; 3);С(-1;-1). Найти: а) а = АВ, Б = AC, C = CB; б) а+26 (выполнить в координатной форме и графически); в) 26 - с (выполнить в координатной форме и графически); г) найти угол между векторами в и с. 2. Даны точки A(-4;2;5); B(3;5;-3);C(-2;3;4); D(2;0;-7). → а) вычислить (АВ +3DC) • (2AD-BC) б) найти SABC; в) построить пирамиду.

1. Даны точки А(1; -3); В(2; 3); С(-1; -1).

а) Найти векторы $$\vec{a} = \vec{AB}$$, $$\vec{b} = \vec{AC}$$, $$\vec{c} = \vec{CB}$$

• $$\vec{AB} = B - A = (2-1; 3-(-3)) = (1; 6)$$
• $$\vec{AC} = C - A = (-1-1; -1-(-3)) = (-2; 2)$$
• $$\vec{CB} = B - C = (2-(-1); 3-(-1)) = (3; 4)$$

б) $$\vec{a} + 2\vec{b}$$ (выполнить в координатной форме и графически)

• $$\vec{a} + 2\vec{b} = (1; 6) + 2(-2; 2) = (1; 6) + (-4; 4) = (-3; 10)$$

в) $$2\vec{b} - \vec{c}$$ (выполнить в координатной форме и графически)

• $$2\vec{b} - \vec{c} = 2(-2; 2) - (3; 4) = (-4; 4) - (3; 4) = (-7; 0)$$

г) Найти угол между векторами $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$

• Косинус угла между векторами: \[\cos(\theta) = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|}\]
• $$\vec{b} \cdot \vec{c} = (-2)(3) + (2)(4) = -6 + 8 = 2$$
• $$|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$
• $$|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
• $$\cos(\theta) = \frac{2}{2\sqrt{2} \cdot 5} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$$
• $$\theta = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{10})$$

2. Даны точки A(-4; 2; 5); B(3; 5; -3); C(-2; 3; 4); D(2; 0; -7).

а) вычислить $$(\vec{AB} + 3\vec{DC}) \cdot (2\vec{AD} - \vec{BC})$$

• $$\vec{AB} = B - A = (3-(-4); 5-2; -3-5) = (7; 3; -8)$$
• $$\vec{DC} = C - D = (-2-2; 3-0; 4-(-7)) = (-4; 3; 11)$$
• $$\vec{AD} = D - A = (2-(-4); 0-2; -7-5) = (6; -2; -12)$$
• $$\vec{BC} = C - B = (-2-3; 3-5; 4-(-3)) = (-5; -2; 7)$$
• $$3\vec{DC} = 3(-4; 3; 11) = (-12; 9; 33)$$
• $$2\vec{AD} = 2(6; -2; -12) = (12; -4; -24)$$
• $$\vec{AB} + 3\vec{DC} = (7; 3; -8) + (-12; 9; 33) = (-5; 12; 25)$$
• $$2\vec{AD} - \vec{BC} = (12; -4; -24) - (-5; -2; 7) = (17; -2; -31)$$
• $$(\vec{AB} + 3\vec{DC}) \cdot (2\vec{AD} - \vec{BC}) = (-5)(17) + (12)(-2) + (25)(-31) = -85 - 24 - 775 = -884$$

б) найти $$S_{ABC}$$

• Площадь треугольника $$S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$
• $$\vec{AB} = (7; 3; -8)$$
• $$\vec{AC} = C - A = (-2-(-4); 3-2; 4-5) = (2; 1; -1)$$
• $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (3(-1) - (-8)(1); -8(2) - 7(-1); 7(1) - 3(2)) = (-3+8; -16+7; 7-6) = (5; -9; 1)$$
• $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{5^2 + (-9)^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 81 + 1} = \sqrt{107}$$
• $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{107}$$

в) построить пирамиду.

Для построения пирамиды необходимо построить точки A, B, C, D в трехмерном пространстве и соединить их, чтобы получилась пирамида.

Ответ: 1) а) (1; 6), (-2; 2), (3; 4); б) (-3; 10); в) (-7; 0); г) \(\arccos(\frac{\sqrt{2}}{10})\); 2) а) -884; б) \(\frac{1}{2} \sqrt{107}\); в) описано выше