ВАРИАНТ № 13. 1. Даны точки А( 1; 3); B(-2; 4);C(-1;-3). Найти: а) а = АВ, Б = AC, ĉ = CB; 6) с +26 (выполнить в координатной форме и графически); в) 2а-в (выполнить в координатной форме и графически); г) найти угол между векторами Б 2. Даны точки и а.. A(-4;2;5); B(3;0;-3); C(2;-5;4);D(2;0;7). а) вычислить (AD-BC). (2AC+BD) б) найти SABD; в) построить пирамиду.

а) Найдем векторы:

• \[\vec{a} = \vec{AB} = B - A = (-2 - 1; 4 - 3) = (-3; 1)\]
• \[\vec{b} = \vec{AC} = C - A = (-1 - 1; -3 - 3) = (-2; -6)\]
• \[\vec{c} = \vec{CB} = B - C = (-2 - (-1); 4 - (-3)) = (-1; 7)\]

б) \(\vec{c} + 2\vec{b}\) (выполнить в координатной форме и графически):

• В координатной форме: \[\vec{c} + 2\vec{b} = (-1; 7) + 2(-2; -6) = (-1; 7) + (-4; -12) = (-5; -5)\]

в) \(2\vec{a} - \vec{b}\) (выполнить в координатной форме и графически):

• В координатной форме: \[2\vec{a} - \vec{b} = 2(-3; 1) - (-2; -6) = (-6; 2) - (-2; -6) = (-4; 8)\]

г) Найти угол между векторами \(\vec{b}\) и \(\vec{a}\):

• Найдем косинус угла между векторами: \[cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{(-3)(-2) + (1)(-6)}{\sqrt{(-3)^2 + 1^2} \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2}} = \frac{6 - 6}{\sqrt{10} \sqrt{40}} = 0\]
• Следовательно, угол \(\theta = 90^\circ\)

а) Вычислить \((\vec{AD} - \vec{BC}) \cdot (2\vec{AC} + \vec{BD})\):

• Найдем векторы: \[\vec{AD} = D - A = (2 - (-4); 0 - 2; 7 - 5) = (6; -2; 2)\] \[\vec{BC} = C - B = (2 - 3; -5 - 0; 4 - (-3)) = (-1; -5; 7)\] \[\vec{AC} = C - A = (2 - (-4); -5 - 2; 4 - 5) = (6; -7; -1)\] \[\vec{BD} = D - B = (2 - 3; 0 - 0; 7 - (-3)) = (-1; 0; 10)\]
• Вычислим выражения: \[\vec{AD} - \vec{BC} = (6 - (-1); -2 - (-5); 2 - 7) = (7; 3; -5)\] \[2\vec{AC} = 2(6; -7; -1) = (12; -14; -2)\] \[2\vec{AC} + \vec{BD} = (12 + (-1); -14 + 0; -2 + 10) = (11; -14; 8)\]
• Вычислим скалярное произведение: \[(\vec{AD} - \vec{BC}) \cdot (2\vec{AC} + \vec{BD}) = (7)(11) + (3)(-14) + (-5)(8) = 77 - 42 - 40 = -5\]

б) Найти \(S_{ABD}\):

• Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\): \[\vec{AB} = B - A = (3 - (-4); 0 - 2; -3 - 5) = (7; -2; -8)\] \[\vec{AD} = (6; -2; 2)\]
• Найдем векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AD}\): \[\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & -2 & -8 \\ 6 & -2 & 2 \end{vmatrix} = ((-2)(2) - (-8)(-2); -((7)(2) - (-8)(6)); (7)(-2) - (-2)(6)) = (-4 - 16; -(14 + 48); -14 + 12) = (-20; -62; -2)\]
• Найдем модуль векторного произведения: \[|\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{(-20)^2 + (-62)^2 + (-2)^2} = \sqrt{400 + 3844 + 4} = \sqrt{4248} = 2\sqrt{1062}\]
• Найдем площадь треугольника: \[S_{ABD} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AD}| = \frac{1}{2} (2\sqrt{1062}) = \sqrt{1062}\]

в) Построить пирамиду:

• Для построения пирамиды нужно построить точки A, B, C, D в трехмерном пространстве и соединить их.