Вариант 1 № 1. ДАВС и ДDMN подобны, <A=37°, <B=83°, AB=5, BC=11, AC=7, DM=10, MN=22, DN=14. Найдите углы A DMN. 1)<D=37°, <M=83°,<N=60°; 2) <D=60°, <M=37°,<N=83°; 3) <D=83°, <M=60°,<N=37°. № 2. Выберите номера неверных высказываний: 1) треугольники подобны, если углы одного равны углам другого треугольника; 2) если соответственные стороны подобных треугольников относятся как 3:5, то площади этих треугольников относятся как 3:5; 3) если треугольники подобны, то соответственные стороны одного треугольника относятся сходственным сторонам другого треугольника с одним и тем же коэффициентом; 4) если периметры ∆ АВС и ДМКИ относятся как 4:25, длина АВ=2, то длина МК-5. № 3. Площади двух квадратов относятся как 4:9, при этом сторона одного из этих квадратов на 5 больше стороны другого. Найдите размеры квадратов. № 4. Диагональ АС трапеции ABCD делит её на два подобных ДАВС и ∆ DCA. Основание трапеции BC=8 см, AD=18 см. Найдите длину диагонали АС.

Решение №1

Давай решим задачу №1. Нам дано, что треугольники ABC и DMN подобны. Это значит, что их соответствующие углы равны. Из условия мы знаем углы A и B треугольника ABC: \[\angle A = 37^\circ\] \[\angle B = 83^\circ\] Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол C: \[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 37^\circ - 83^\circ = 60^\circ\] Так как треугольники ABC и DMN подобны, то углы треугольника DMN равны углам треугольника ABC. Нужно только правильно сопоставить соответственные вершины. Для этого посмотрим на известные стороны: AB = 5, BC = 11, AC = 7 DM = 10, MN = 22, DN = 14 Видим, что DM = 2AB, MN = 2BC, DN = 2AC. Значит, соответствие такое: A соответствует D, B соответствует M, C соответствует N. Тогда углы треугольника DMN равны: \[\angle D = \angle A = 37^\circ\] \[\angle M = \angle B = 83^\circ\] \[\angle N = \angle C = 60^\circ\] Ответ: D=37°, M=83°, N=60°

Решение №2

Перейдем к задаче №2. Нужно выбрать неверные высказывания о подобных треугольниках. 1) Треугольники подобны, если углы одного равны углам другого треугольника. Это верное утверждение. 2) Если соответственные стороны подобных треугольников относятся как 3:5, то площади этих треугольников относятся как 3:5. Это неверное утверждение. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. То есть, отношение площадей должно быть (3/5)^2 = 9/25. 3) Если треугольники подобны, то соответственные стороны одного треугольника относятся к сходственным сторонам другого треугольника с одним и тем же коэффициентом. Это верное утверждение. 4) Если периметры ∆ABC и ∆MKN относятся как 4:25, длина AB=2, то длина MK=5. Проверим: Если периметры относятся как 4:25, то и стороны относятся как 4:25. Значит, MK = (25/4) * AB = (25/4) * 2 = 50/4 = 12.5. Утверждение, что MK = 5 - неверное. Ответ: 2 и 4

Решение №3

Задача №3. Площади двух квадратов относятся как 4:9, при этом сторона одного из этих квадратов на 5 больше стороны другого. Найдите размеры квадратов. Пусть сторона первого квадрата равна a, а сторона второго квадрата равна b. Тогда их площади равны a^2 и b^2 соответственно. Из условия задачи мы знаем, что: \[\frac{a^2}{b^2} = \frac{4}{9}\] \[b = a + 5\] Из первого уравнения можно выразить отношение сторон: \[\frac{a}{b} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}\] \[a = \frac{2}{3}b\] Подставим это во второе уравнение: \[b = \frac{2}{3}b + 5\] \[\frac{1}{3}b = 5\] \[b = 15\] Теперь найдем a: \[a = \frac{2}{3} * 15 = 10\] Итак, сторона первого квадрата равна 10, а сторона второго квадрата равна 15. Ответ: 10 и 15

Решение №4

Задача №4. Диагональ AC трапеции ABCD делит её на два подобных ∆ABC и ∆DCA. Основание трапеции BC=8 см, AD=18 см. Найдите длину диагонали AC. Так как треугольники ABC и DCA подобны, то их стороны пропорциональны: \[\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD}\] \[\frac{8}{AC} = \frac{AC}{18}\] \[AC^2 = 8 * 18 = 144\] \[AC = \sqrt{144} = 12\] Ответ: 12