Вариант № 23 11. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды (см. рис. 148), сторона основания которой равна 12, а боковое ребро равно √88.

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен $$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$$, где $$S_{осн}$$ - площадь основания, $$h$$ - высота пирамиды.

В основании пирамиды лежит квадрат со стороной 12, значит, $$S_{осн} = 12^2 = 144$$.

Высоту пирамиды найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковым ребром и половиной диагонали основания. Обозначим высоту пирамиды как $$h$$, боковое ребро как $$b$$, а половину диагонали основания как $$d/2$$. Тогда по теореме Пифагора:

$$h = \sqrt{b^2 - (d/2)^2}$$.

Диагональ квадрата равна $$d = a\sqrt{2}$$, где $$a$$ - сторона квадрата. В нашем случае $$a = 12$$, значит, $$d = 12\sqrt{2}$$. Тогда $$d/2 = 6\sqrt{2}$$.

Подставляем известные значения: $$h = \sqrt{(\sqrt{88})^2 - (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{88 - 36 \cdot 2} = \sqrt{88 - 72} = \sqrt{16} = 4$$.

Теперь можно найти объем пирамиды:

$$V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 4 = 48 \cdot 4 = 192$$.

Ответ: 192