Вариант № 3 1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них в 4 раза меньше другого. 2. В прямоугольном треугольнике АВС∠C = 90°, AB = 10 см, внешний угол при вершине В равен 120°. Найти длину катета ВС. 3. Угол между высотой СН и катетом СА прямоугольного треугольника АВС (С = 90°) равен 140. Найти острые углы треугольника АВС. 4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Найдите гипотенузу и этот катет. • 5. На рисунке АB = AC, ADB = 420. Найдите ADC.

1. Задача 1:

   Пусть один из острых углов равен x, тогда другой угол равен 4x. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

   \[x + 4x = 90\]

   \[5x = 90\]

   \[x = 18\]

   Значит, один угол 18°, а другой 4 × 18 = 72°.

   Ответ: 18° и 72°

2. Задача 2:

   Внешний угол при вершине B равен 120°, значит, внутренний угол B равен 180° - 120° = 60°.

   Так как угол C = 90°, то угол A = 180° - 90° - 60° = 30°.

   Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, BC = AB / 2 = 10 / 2 = 5 см.

   Ответ: BC = 5 см

3. Задача 3:

   Угол между высотой CH и катетом CA равен 14°.

   В прямоугольном треугольнике ACH угол CAH = 90° - 14° = 76°.

   Тогда угол B = 90° - 76° = 14°.

   Угол A = 76°.

   Ответ: углы 76° и 14°

4. Задача 4:

   Пусть гипотенуза равна c, а меньший катет a. Тогда c + a = 36.

   Один из углов равен 60°, значит, другой острый угол равен 30°.

   Меньший катет лежит против угла 30°, поэтому a = c / 2.

   Подставляем в первое уравнение: c + c / 2 = 36

   \[\frac{3}{2}c = 36\]

   \[c = 24\]

   Тогда a = 36 - 24 = 12.

   Ответ: гипотенуза 24 см, катет 12 см

5. Задача 5:

   Так как AB = AC, то треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании равны.

   Тогда ∠ABC = ∠ACB = (180° - ∠BAC) / 2

   Угол ∠ADB = 42°. Рассмотрим треугольник ADC. Пусть ∠DAC = x, тогда ∠ADC = 42°.

   ∠ACD = 180° - ∠ADC - ∠DAC = 180° - 42° - x = 138° - x

   Так как ∠BAC = x, то ∠ABC = ∠ACB = (180° - x) / 2 = 90° - x/2

   Получаем уравнение: ∠ACB = ∠ACD, то есть 90° - x/2 = 138° - x

   \[\frac{x}{2} = 48\]

   \[x = 96\]

   ∠DAC = 96°

   ∠ADC = 180° - 42° - 96° = 42°

   ∠ADC = 42°

Ответ: