Вариант № 4 1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 37° больше другого. 2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, AC = 5 см, внешний угол при вершине В равен 150°. Найти длину гипотенузы АВ. 3. Найдите острый угол между высотой СН и биссектрисой СК прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°), если ∠A = 630. 4. Один из углов прямоугольного треугольного треугольника равен 60 °, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу и этот катет. 5. На рисунке BC-AD, CD = 6 см. Найдите АВ

Задание 1

Пусть один острый угол равен x, тогда другой x + 37°. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

Составим уравнение:

\[x + (x + 37^\circ) = 90^\circ\]

Решаем уравнение:

\[2x + 37^\circ = 90^\circ\] \[2x = 90^\circ - 37^\circ\] \[2x = 53^\circ\] \[x = 26.5^\circ\]

Тогда другой угол:

\[x + 37^\circ = 26.5^\circ + 37^\circ = 63.5^\circ\]

Ответ: 26.5° и 63.5°

Задание 2

Внешний угол при вершине B равен 150°, значит, внутренний угол при вершине B равен:

\[180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\]

В прямоугольном треугольнике ABC (\[\angle C = 90^\circ\]) катет AC лежит против угла 30°, следовательно, гипотенуза AB в два раза больше катета AC:

\[AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 5 = 10\]

Ответ: 10 см

Задание 3

В прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 63°. Высота CH образует прямой угол с AB, поэтому треугольник ACH также прямоугольный.

Найдем угол между высотой CH и катетом AC:

\[\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ\]

CK - биссектриса угла C, значит, она делит угол C пополам:

\[\angle ACK = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\]

Угол между высотой CH и биссектрисой CK равен разности углов ACK и ACH:

\[\angle KCH = \angle ACK - \angle ACH = 45^\circ - 27^\circ = 18^\circ\]

Ответ: 18°

Задание 4

Пусть гипотенуза равна c, а меньший катет равен a. Один из углов равен 60°, значит, второй острый угол равен 30°.

Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см:

\[c + a = 42\]

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы:

\[a = \frac{1}{2}c\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[c + \frac{1}{2}c = 42\] \[\frac{3}{2}c = 42\] \[c = \frac{2}{3} \cdot 42 = 28\]

Тогда меньший катет:

\[a = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14\]

Ответ: гипотенуза равна 28 см, меньший катет равен 14 см

Задание 5

На рисунке BC = AD и CD = 6 см. ABCD - прямоугольник, так как все углы прямые. Следовательно, AB = CD.

Ответ: AB = 6 см