Вариант № 2 1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них в 5 раз больше другого. 2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, АВ = 15 см, внешний угол при вершине В равен 150°. Найти длину катета АС. 3. Угол между биссектрисой ВК и катетом АС прямоугольного треугольника ABC (ZC = 90°) равен 579. Найти острые углы треугольника АВС. 4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и этот катет. 5. На рисунке ABICD, ZACD = 47°. Найдите ∠BAC

Решение варианта № 2:

1. Пусть один острый угол равен $$x$$, тогда другой угол равен $$5x$$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Составим уравнение: $$x + 5x = 90^{\circ}$$ $$6x = 90^{\circ}$$ $$x = 15^{\circ}$$ Тогда второй угол равен: $$5x = 5 \cdot 15^{\circ} = 75^{\circ}$$ Ответ: $$15^{\circ}$$ и $$75^{\circ}$$.
2. Внешний угол при вершине B равен 150°, следовательно, внутренний угол при вершине B равен: $$180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$$ Так как угол C равен 90°, то треугольник ABC - прямоугольный. Катет AC прилежит углу B, равному 30°. Следовательно, катет AC противолежит углу B, равному 60°. $$AC = AB \cdot \sin{30^{\circ}} = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7.5 \text{ см}$$ Ответ: 7.5 см.
3. Угол между биссектрисой BK и катетом AC равен 57°. Следовательно, угол BKA равен 57°. Так как биссектриса делит угол B пополам, то $$\angle ABK = \angle CBK$$. В прямоугольном треугольнике ABC $$\angle ABC + \angle BAC = 90^{\circ}$$. Известно, что $$\angle BKA = 57^{\circ}$$, тогда $$\angle BAK = 180 - 90 - 57 = 33^{\circ}$$. Так как BK биссектриса, тогда $$\angle ABC = \angle CBK + \angle ABK$$, а $$\angle ABK = 180 -90 -57 = 33^{\circ}$$, значит $$\angle ABC = 66^{\circ}$$, тогда $$\angle ACB= 180 -90-66= 24^{\circ}$$. Ответ: углы 66 и 24 градуса.
4. Пусть гипотенуза равна c, а меньший катет равен a. Тогда: $$c - a = 15$$ Так как один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, то другой угол равен 30°. Меньший катет лежит против угла 30°, поэтому $$a = \frac{1}{2} c$$. Подставим это в первое уравнение: $$c - \frac{1}{2} c = 15$$ $$\frac{1}{2} c = 15$$ $$c = 30 \text{ см}$$ Тогда меньший катет равен: $$a = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15 \text{ см}$$ Ответ: гипотенуза равна 30 см, катет равен 15 см.
5. На рисунке ABICD, ZACD = 47°. Найти ∠BAC. К сожалению, по имеющимся данным невозможно найти ∠BAC. Нужны дополнительные данные или уточнения к рисунку. Ответ: недостаточно данных.