Вариант № 3 1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них в 4 раза меньше другого. 2. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C=90°, AB = 9 см, внешний угол при вершине В равен 120°. Найти длину катета ВС, 3. Острый угол между высотой СН и биссектрисой СК прямоугольного треугольника ABC (ZC = 90°) равен 38°, Найти острые углы треугольника АВС.

Рассмотрим задачи из варианта № 3.

Задача 1

Пусть один из острых углов прямоугольного треугольника равен $$x$$, тогда второй острый угол равен $$4x$$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Составим уравнение:

$$x + 4x = 90$$

$$5x = 90$$

$$x = 18$$

Значит, один угол равен 18°, а второй угол равен $$4 \cdot 18 = 72$$°.

Ответ: 18° и 72°

Задача 2

В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, AB = 9 см, внешний угол при вершине B равен 120°. Нужно найти длину катета BC.

Внешний угол при вершине B равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Т.к. угол ACB прямой, то внешний угол при вершине B равен:

$$ \angle B_{внешний} = \angle A + \angle C = 120°$$

Отсюда, угол A = 120° - 90° = 30°.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, катет BC равен половине гипотенузы AB.

$$BC = \frac{AB}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$$ см.

Ответ: 4.5 см

Задача 3

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) острый угол между высотой CH и биссектрисой CK равен 38°. Нужно найти острые углы треугольника ABC.

Пусть ∠ACK = ∠KCB = x (т.к. CK - биссектриса). Тогда ∠ACB = 2x = 90°, следовательно, x = 45°.

Пусть ∠HCK = 38°. ∠HCK = ∠ACK - ∠ACH. Отсюда, ∠ACH = ∠ACK - ∠HCK = 45° - 38° = 7°.

В прямоугольном треугольнике ABC, высота CH является перпендикуляром к стороне AB. В прямоугольном треугольнике ACH, ∠CAH = 90° - ∠ACH = 90° - 7° = 83°.

∠CAB = 83°. Тогда ∠ABC = 90° - ∠CAB = 90° - 83° = 7°.

Ответ: 83° и 7°