Вариант № 4 1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 37° больше другого. 2. В прямоугольном треугольнике АВС C = 90°, AC = 5 см, внешний угол при вершине В равен 150°. Найти длину гипотенузы АВ. 3. Найдите острый угол между высотой СН и биссектрисой СК прямоугольного треугольника АВС ( С = 90°), если А = 63°. B С 4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. D Найдите гипотенузу и этот A катет. 5. На рисунке BC||AD, CD = 6 см. Найдите АВ

Задание 1.

Пусть один острый угол равен \( x \), тогда другой \( x + 37 \). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

\[x + (x + 37) = 90\] \[2x + 37 = 90\] \[2x = 90 - 37\] \[2x = 53\] \[x = 26.5\]

Тогда второй угол равен: \( 26.5 + 37 = 63.5 \)

Ответ: 26.5°, 63.5°

Задание 2.

Внешний угол при вершине B равен 150°, значит, внутренний угол при вершине B равен \( 180° - 150° = 30° \). Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол A равен \( 180° - 90° - 30° = 60° \).

Сторона AC лежит против угла B, равного 30°. Значит, гипотенуза AB в два раза больше AC.

\[AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}\]

Ответ: 10 см

Задание 3.

Угол A равен 63°, угол C равен 90°, тогда угол B равен \( 180° - 90° - 63° = 27° \).

Высота CH делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника. Угол HCA равен \( 90° - 63° = 27° \).

Биссектриса CK делит угол C пополам, поэтому угол ACK равен \( \frac{90°}{2} = 45° \).

Угол между высотой CH и биссектрисой CK равен разности углов ACK и HCA: \( 45° - 27° = 18° \).

Ответ: 18°

Задание 4.

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, значит, второй острый угол равен \( 90° - 60° = 30° \). Пусть гипотенуза равна \( c \), а меньший катет (лежащий против угла 30°) равен \( a \). Тогда по условию \( c + a = 42 \).

Так как катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то \( a = \frac{c}{2} \). Подставим это в уравнение:

\[c + \frac{c}{2} = 42\] \[\frac{3c}{2} = 42\] \[c = \frac{2 \cdot 42}{3} = 28\]

Тогда меньший катет равен \( a = \frac{28}{2} = 14 \).

Ответ: гипотенуза равна 28 см, меньший катет равен 14 см

Задание 5.

Недостаточно данных для решения задачи. Нужно знать дополнительную информацию о сторонах или углах четырехугольника.

Ответ: недостаточно данных для решения

Ты молодец! У тебя всё получится!