Вариант № 3 1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них в 4 раза меньше другого. 2. В прямоугольном треугольнике АВС C = 90°, AB = 9 см, внешний угол при вершине В равен 1200. Найти длину катетаз. BC. 3. Острый угол между высотой СН и биссектрисой СК прямоугольного треугольника АВС ( С = 90°) равен 38°. Найти острые углы треугольника АВС. В 4. Один из углов прямоугольного треугольника равен D600 , а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Найдите гипотенузу и этот катет. 5. На рисунке АВ = АС, ADB = 420. Найдите ADC.

Вариант №3

1. Пусть один из острых углов равен \(x\), тогда другой равен \(4x\). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

   Составим уравнение:

   \[x + 4x = 90°\] \[5x = 90°\] \[x = 18°\]

   Тогда второй угол равен:

   \[4x = 4 \cdot 18° = 72°\]

2. Внешний угол при вершине B равен 120°, значит, внутренний угол \(\angle ABC\) равен:

   \[\angle ABC = 180° - 120° = 60°\]

   Теперь мы знаем гипотенузу \(AB = 9\) см и угол \(\angle ABC = 60°\). Катет BC является прилежащим к углу \(\angle ABC\), поэтому можем использовать косинус:

   \[\cos(\angle ABC) = \frac{BC}{AB}\] \[BC = AB \cdot \cos(60°)\] \[BC = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5 \text{ см}\]

3. Дано, что острый угол между высотой CH и биссектрисой CK равен 38°. Так как \(\angle HCK = 38°\), то \(\angle KCA = \angle HCA + 38°\). Угол \(\angle KCA\) равен половине угла \(\angle C\), то есть 45° (так как CK - биссектриса прямого угла C).

   Тогда:

   \[\angle HCA = 45° - 38° = 7°\]

   Угол \(\angle HAC\) равен 90° - \(\angle HCA\):

   \[\angle HAC = 90° - 7° = 83°\]

   Второй острый угол равен:

   \[\angle ABC = 90° - 83° = 7°\]

4. Один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы (c) и меньшего катета (b) равна 36 см.

   Из условия следует, что второй острый угол равен 30°.

   Меньший катет лежит против угла 30°, значит, он равен половине гипотенузы:

   \[b = \frac{1}{2}c\]

   Подставим это в уравнение:

   \[c + \frac{1}{2}c = 36\] \[\frac{3}{2}c = 36\] \[c = 24 \text{ см}\]

   Тогда меньший катет равен:

   \[b = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \text{ см}\]

5. На рисунке \(AB = AC\), \(\angle ADB = 42°\). Найдите \(\angle ADC\).

   Поскольку \(AB = AC\), треугольник \(\triangle ABC\) равнобедренный. Следовательно, \(\angle ABC = \angle ACB\). Также, поскольку \(AD\) - общая сторона для треугольников \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\), а углы \(\angle ADB\) и \(\angle ADC\) смежные, то их сумма равна 180°.

   Значит:

   \[\angle ADC = 180° - \angle ADB = 180° - 42° = 138°\]

Ответ: 1) 18° и 72°; 2) 4.5 см; 3) 83° и 7°; 4) 24 см и 12 см; 5) 138°