Вариант 1 № 1. Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что РЕE || QF. № 2. Отрезок DM - биссектриса треугольника CDE. Через точку М проведена прямая параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке №. Найдите угле треугольника DMN, если ∠CDE = 68° № 3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны этого треугольника.

Ответ: Задача №1 требует доказательства, задачи №2: углы треугольника DMN равны 34°, 73°, 73°, задача №3: стороны треугольника равны 11 см, 17 см, 17 см.

Задача №1

Для доказательства, что PE || QF, нужно показать, что углы, образованные при пересечении отрезков EF и PQ, равны.

К сожалению, для этой задачи недостаточно информации, требуется дополнительное построение или данные об углах.

Задача №2

Дано:

• DM - биссектриса угла CDE
• CD || MN
• ∠CDE = 68°

Найти: углы треугольника DMN

Решение:

1. ∠CDM = ∠MDE = 68° / 2 = 34° (так как DM - биссектриса)
2. ∠DMN = ∠CDM = 34° (как накрест лежащие углы при CD || MN и секущей DM)
3. ∠DNM = ∠CDE = 68° (как соответственные углы при CD || MN и секущей DE)
4. ∠MDN = 180° - ∠DMN - ∠DNM = 180° - 34° - 68° = 78°

Ответ: углы треугольника DMN равны 34°, 68°, 78°.

Задача №3

Дано:

• Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см
• Одна сторона больше другой на 9 см

Найти: стороны треугольника

Решение:

Пусть x - меньшая сторона, тогда x + 9 - большая сторона.

Рассмотрим два случая:

1. Боковые стороны равны x + 9, основание x:

P = 2(x + 9) + x = 45

2x + 18 + x = 45

3x = 27

x = 9

Стороны: 9 см, 18 см, 18 см.

2. Основание равно x + 9, боковые стороны x:

P = 2x + x + 9 = 45

3x = 36

x = 12

Стороны: 12 см, 12 см, 21 см.

Проверим, может ли треугольник быть тупоугольным.

• Для сторон 9, 18, 18: 9² + 18² < 18² (не выполняется)
• Для сторон 12, 12, 21: 12² + 12² < 21² (144 + 144 < 441, 288 < 441, выполняется)

Следовательно, подходит только второй случай.

Ответ: стороны треугольника равны 12 см, 12 см, 21 см.

Ответ: Задача №1 требует доказательства, задачи №2: углы треугольника DMN равны 34°, 68°, 78°, задача №3: стороны треугольника равны 12 см, 12 см, 21 см.