Вариант № 2 1. Решите уравнения: a) 2x-2x-2= 6 б) log3x-4=0 в) 210905 (2х 1) = 10905(3x + 1) 2. Решите неравенства: a) 4x²-3x+3>4 б) log1 (5x + 1) ≥ 1

Математика. Алгебра. 10 класс.

Привет! Давай решим эти уравнения и неравенства вместе. Будем идти по порядку.

1. Решите уравнения:

а) 2^x - 2^x-2 = 6

Представим 2^x-2 как 2^x / 2² = 2^x / 4.

Тогда уравнение можно переписать как:

2^x - 2^x / 4 = 6

Вынесем 2^x за скобки:

2^x(1 - 1/4) = 6

2^x(3/4) = 6

2^x = 6 * (4/3)

2^x = 8

2^x = 2³

x = 3

Ответ: x = 3

---

б) log₃x - 4 = 0

log₃x = 4

x = 3⁴

x = 81

Ответ: x = 81

---

в) 2log_0.5(2x - 1) = log_0.5(3x + 1)

log_0.5(2x - 1)² = log_0.5(3x + 1)

(2x - 1)² = 3x + 1

4x² - 4x + 1 = 3x + 1

4x² - 7x = 0

x(4x - 7) = 0

x = 0 или 4x - 7 = 0

x = 0 или x = 7/4 = 1.75

Проверим корни:

При x = 0: log_0.5(-1) - не существует, поэтому x = 0 не является решением.

При x = 1.75: 2x - 1 = 2.5 > 0 и 3x + 1 = 6.25 > 0, поэтому x = 1.75 является решением.

Ответ: x = 1.75

---

2. Решите неравенства:

а) 4^{x2 - 3x + 3} > 4

4^{x2 - 3x + 3} > 4¹

x² - 3x + 3 > 1

x² - 3x + 2 > 0

(x - 1)(x - 2) > 0

Решаем методом интервалов:

x < 1 или x > 2

Ответ: x < 1 или x > 2

---

б) log_1/3(5x + 1) ≥ 1

log_1/3(5x + 1) ≥ log_1/3(1/3)

Так как основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется:

5x + 1 ≤ 1/3

5x ≤ 1/3 - 1

5x ≤ -2/3

x ≤ -2/15

Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть положительным:

5x + 1 > 0

5x > -1

x > -1/5

Таким образом, решение неравенства:

-1/5 < x ≤ -2/15

Ответ: -1/5 < x ≤ -2/15

Ты молодец! У тебя всё получится!