Вариант 2 № 1. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 18°. Найдите острые углы треугольника. № 2. Докажите, что точка пересечения биссектрисы острого угла прямоугольного треугольника и высоты, проведённой к гипотенузе, равноудалена от гипотенузы и катета, прилежащего к этому углу. № 3. В равнобедренном треугольнике АВС, в котором ∠B = 100°, на продолжении стороны АВ отметили точку D так, что отрезок BD равен отрезку АВ. Определите вид треугольника ADC и найдите его углы. № 4. Два прямоугольных треугольника KLM и NLM расположены на плоскости так, что вершины прямых углов К и N находятся в разных полуплоскостях относительно прямой LM. Точки К, N и середину Р стороны LM соединили отрезками. Определите вид треугольника KNP и найдите его углы, если <KLM = 26°, a ∠NLM = 33°. № 5. В прямоугольном треугольнике с углом 30° расстояние от основания высоты, проведённой к гипотенузе, до медианы, проведённой к гипотенузе, равно 4. Найдите длину высоты и одного из катетов.

№1.

Краткое пояснение: Используем свойства прямоугольного треугольника и соотношения углов.

• Пусть один из острых углов равен α, тогда другой угол равен 90° - α.
• Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит прямой угол на два угла.
• Медиана, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу пополам и равна половине гипотенузы.
• Угол между высотой и медианой равен 18°.

Логика такая:

• Угол между медианой и гипотенузой: α.
• Угол между высотой и гипотенузой: 90° - α - 18° = α.
• Получаем уравнение: 90 - α - 18 = α.
• Решаем уравнение: 2α = 72.
• α = 36°.
• Другой острый угол: 90° - 36° = 54°.

Ответ: 36° и 54°

№2.

Краткое пояснение: Докажем равенство расстояний от точки пересечения биссектрисы и высоты до гипотенузы и катета.

• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
• Пусть AH - высота, проведенная к гипотенузе AB, а BE - биссектриса угла B.
• Пусть O - точка пересечения AH и BE.
• Докажем, что расстояние от O до AB равно расстоянию от O до BC.

Доказательство:

• Так как BE - биссектриса угла B, то точка O равноудалена от сторон угла B, то есть от BC и AB.
• Следовательно, расстояние от O до AB равно расстоянию от O до BC.

Ч.Т.Д.

№3.

Краткое пояснение: Определим вид треугольника ADC и найдем его углы.

• Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом ∠B = 100°.
• Точка D лежит на продолжении стороны AB так, что BD = AB.
• Углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA = (180° - 100°) / 2 = 40°.
• Так как BD = AB, то AD = 2AB.
• Рассмотрим треугольник ADC.

Найдем углы треугольника ADC:

• ∠DAC = ∠BAC = 40°.
• ∠ADC = x.
• ∠DCA = y.

Сумма углов треугольника ADC равна 180°:

• 40° + x + y = 180°.
• x + y = 140°.

Из треугольника BCD:

• ∠DBC = 180° - 100° = 80°.
• ∠BCD = 180° - 80° - x = y.
• ∠BDC = x.
• ∠BCD = 180° - 80° - x = y.

Применим теорему синусов к треугольнику ABC:

\[\frac{AB}{\sin(40)} = \frac{AC}{\sin(100)}\]

Применим теорему синусов к треугольнику ADC:

\[\frac{AD}{\sin(y)} = \frac{AC}{\sin(x)}\]

AD = 2AB, следовательно:

\[\frac{2AB}{\sin(y)} = \frac{AC}{\sin(x)}\]

\[\frac{2\sin(40)}{\sin(y)} = \frac{\sin(100)}{\sin(x)}\]

\[\frac{\sin(x)}{\sin(y)} = \frac{\sin(100)}{2\sin(40)}\]

Решая эту систему уравнений, находим:

• x ≈ 20°.
• y ≈ 120°.

Вид треугольника ADC: тупоугольный.

Ответ: Треугольник ADC тупоугольный, ∠DAC = 40°, ∠ADC ≈ 20°, ∠DCA ≈ 120°

№4.

Краткое пояснение: Определим вид треугольника KNP и найдем его углы.

• Рассмотрим два прямоугольных треугольника KLM и NLM, расположенных на плоскости так, что вершины прямых углов K и N находятся в разных полуплоскостях относительно прямой LM.
• Точки K, N и середину P стороны LM соединили отрезками.
• ∠KLM = 26°, ∠NLM = 33°.

Найдем углы треугольника KNP:

• Так как P - середина LM, то KP = LP и NP = LP.
• Следовательно, KP = NP, и треугольник KNP - равнобедренный.
• ∠KLP = ∠KLM = 26°.
• ∠NLP = ∠NLM = 33°.
• ∠KPL = 180° - 2 * 26° = 180° - 52° = 128°.
• ∠NPL = 180° - 2 * 33° = 180° - 66° = 114°.
• ∠KPN = 360° - 128° - 114° = 118°.

Вид треугольника KNP: равнобедренный.

Углы при основании KP и NP равны: (180° - 118°) / 2 = 31°.

Ответ: Треугольник KNP равнобедренный, ∠KPN = 118°, ∠NKP = ∠KNP = 31°

№5.

Краткое пояснение: Найдем длину высоты и одного из катетов.

• Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом 30°.
• Расстояние от основания высоты, проведенной к гипотенузе, до медианы, проведенной к гипотенузе, равно 4.
• Пусть высота равна h, а катет, лежащий против угла 30°, равен a.
• Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Высота, проведенная к гипотенузе:

\[h = \frac{a \cdot b}{c}\]

Медиана, проведенная к гипотенузе:

\[m = \frac{c}{2}\]

Расстояние между основанием высоты и медианой равно 4.

Известно, что a = c / 2.

\[\frac{c}{2} - \frac{a \cdot b}{c} = 4\]

Известно, что один из углов равен 30°.

\[a = c \cdot \sin(30) = \frac{c}{2}\]

\[b = c \cdot \cos(30) = \frac{c \sqrt{3}}{2}\]

\[h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{\frac{c}{2} \cdot \frac{c \sqrt{3}}{2}}{c} = \frac{c \sqrt{3}}{4}\]

\[\frac{c}{2} - 4 = \frac{c \sqrt{3}}{4}\]

\[2c - 16 = c \sqrt{3}\]

\[c(2 - \sqrt{3}) = 16\]

\[c = \frac{16}{2 - \sqrt{3}} = \frac{16(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{16(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 16(2 + \sqrt{3})\]

\[a = \frac{c}{2} = 8(2 + \sqrt{3})\]

\[h = \frac{c \sqrt{3}}{4} = 4(2 + \sqrt{3}) \sqrt{3} = 4(2 \sqrt{3} + 3)\]

Ответ: h = 4(2√3 + 3), a = 8(2 + √3)