Вариант № 2 1. В треугольнике KNM <K =30°,< N = 45°, KM =5√2. Найдите NM. 2. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника. 3. Определите вид треугольника АВС, если А(0; 0), B(1; -1), C(4; 2). 4. Вычислите скалярное произведение векторов m = 4a +3b и п = 5а- 2b, если а {1; -1}, b{-2; 3}

1. Рассмотрим треугольник KNM. Из условия \(\angle K = 30^\circ\), \(\angle N = 45^\circ\), \(KM = 5\sqrt{2}\). Необходимо найти NM. По теореме синусов: $$\frac{NM}{\sin K} = \frac{KM}{\sin N}$$ $$NM = \frac{KM \cdot \sin K}{\sin N}$$ $$NM = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}$$ $$NM = \frac{5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$NM = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$$ $$NM = 5$$ Ответ: 5 2. Пусть стороны треугольника a = 5 см, b = 7 см, а угол между ними \(\gamma = 60^\circ\). Необходимо найти третью сторону треугольника c. По теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma$$ $$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ$$ $$c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{1}{2}$$ $$c^2 = 74 - 35$$ $$c^2 = 39$$ $$c = \sqrt{39}$$ Ответ: \(\sqrt{39}\) 3. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(0; 0), B(1; -1), C(4; 2). Необходимо определить вид треугольника ABC. Найдем длины сторон треугольника: $$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$$ $$BC = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-1))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ $$AC = \sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора: $$AB^2 + BC^2 = (\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 2 + 18 = 20$$ $$AC^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$$ Так как \(AB^2 + BC^2 = AC^2\), то треугольник ABC является прямоугольным. Ответ: Прямоугольный 4. Дано: \(m = 4a + 3b\), \(n = 5a - 2b\), \(a = \{1; -1\}\), \(b = \{-2; 3\}\). Необходимо вычислить скалярное произведение векторов m и n. Найдем координаты векторов m и n: $$m = 4 \cdot \{1; -1\} + 3 \cdot \{-2; 3\} = \{4; -4\} + \{-6; 9\} = \{-2; 5\}$$ $$n = 5 \cdot \{1; -1\} - 2 \cdot \{-2; 3\} = \{5; -5\} - \{-4; 6\} = \{9; -11\}$$ Скалярное произведение векторов m и n: $$m \cdot n = (-2) \cdot 9 + 5 \cdot (-11) = -18 - 55 = -73$$ Ответ: -73