Вариант 1 1. а) Сформулируйте понятие коллинеарных векторов; На рис. 1 изображен параллелепипед. Выпишете: б) 5 векторов, противоположно направленных к ВА; в) 5 векторов, сонаправленных с В, М; г) 2 вектора, равных С, С. 2. Нарисуйте тетраэдр DABCС. Изобразите на рисунке векторы: a) AB + BC; 6) CD + BC ; в) DA – DC . 3. Скопируйте векторы с рис. 2 в тетрадь и постройте векторы: 1- а) а; 6) 36; в) а+б; г) а-26. 3 2 4. Перечислите свойства умножения вектора на число: сочета- тельное, первое и второе распределительные свойства. 5. Упростите выражения: а) FK + MQ + KP + AM + QK + PF; 6) AC – BC + MP – AP+BM; в) 4(m+n)-7(m-3n)+m. 6. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис.1). Какие из трех следующих векторов компланарны: а) АА, СС₁, ВВ₁; 6) AB, AD, AA ; в) ВВ₁, AC, DD₁; г) AD, CC, A,B,? 7. Выразите векторы АХ, ХА, ХҮ на рис. 3 через векторы DA = a, DB = b, DC = с, если известно, что у – середина DB, а DX = 1 DC. 3

Привет! Разберёмся с этими заданиями по геометрии. Сейчас всё станет понятно! 1. Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. * б) 5 векторов, противоположно направленных к \(\overrightarrow{BA}\): \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{A_1B_1}\), \(\overrightarrow{D_1C_1}\), \(\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{K_1L}\). * в) 5 векторов, сонаправленных с \(\overrightarrow{B_1M}\): Таких векторов на рисунке нет, так как точка M находится на ребре \(C_1B_1\) и не образует сонаправленный вектор с точкой B. * г) 2 вектора, равных \(\overrightarrow{C_1C}\): \(\overrightarrow{A_1A}\) и \(\overrightarrow{D_1D}\). 2. Тут нужно нарисовать тетраэдр и векторы, но, к сожалению, я не могу этого сделать. Но ты можешь построить тетраэдр DABC и показать векторы, как указано в задании. 3. В этом задании тоже нужно скопировать векторы с рисунка и построить новые, но, к сожалению, я не могу этого сделать. 4. Свойства умножения вектора на число: * Сочетательное свойство: \((k \cdot l) \cdot \overrightarrow{a} = k \cdot (l \cdot \overrightarrow{a})\). * Первое распределительное свойство: \((k + l) \cdot \overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{a} + l \cdot \overrightarrow{a}\). * Второе распределительное свойство: \(k \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k \cdot \overrightarrow{a} + k \cdot \overrightarrow{b}\). 5. Упростим выражения: * а) \(\overrightarrow{FK} + \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{KP} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{QK} + \overrightarrow{PF} = \overrightarrow{AF}\). * б) \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MP} - \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BM}\). * в) \(4(m+n) - 7(m-3n) + m = 4m + 4n - 7m + 21n + m = -2m + 25n\). 6. Компланарные векторы: * a) \(\overrightarrow{AA_1}\), \(\overrightarrow{CC_1}\), \(\overrightarrow{BB_1}\) - компланарны, так как лежат в одной плоскости. * б) \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AA_1}\) - компланарны, так как параллелепипед. * в) \(\overrightarrow{BB_1}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{DD_1}\) - компланарны, так как параллельны. * г) \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{CC_1}\), \(\overrightarrow{A_1B_1}\) - не компланарны. 7. Выразим векторы через \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{c}\): * \(\overrightarrow{DY} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\). * \(\overrightarrow{DX} = \frac{1}{3} \overrightarrow{DC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{c}\). * \(\overrightarrow{AX} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DX} = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{c}\). * \(\overrightarrow{AY} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DY} = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\). * \(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{XD} + \overrightarrow{DY} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{c} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\).