Вариант 1 1. ABCD – параллелограмм, АВ = a, AD = b, K€BC, LEAD, ВК: КС= 2 : 3, AL : LD = 3:2. Найдите разложение вектора KL по неколлинеарным векторам а и b. 2. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 20 и ВС = 8, Ο – точка пересечения диагоналей. Разложите вектор DO по векторам AD = а и АВ = b. 3. Диагонали ромба АС = a, BD = b. Точка К є BD и ВК: KD =1:3. Найдите величину |АК|. 5. В прямоугольнике ABCD известно, что AD=а, DC=b, O – точка пересечения диагоналей. Найдите величину |AB + DO - OB + OC + CD|.

Привет! Давай решим эти задачи по геометрии вместе. Будем разбирать каждую задачу по порядку. Задача 1: В параллелограмме ABCD, AB = a, AD = b, K ∈ BC, L ∈ AD, BK : KC = 2 : 3, AL : LD = 3 : 2. Нужно найти разложение вектора KL по неколлинеарным векторам a и b. Разложим вектор KL на составляющие: KL = KA + AL Выразим KA через векторы a и b: KA = KB + BA = -BK - AB Так как BK : KC = 2 : 3, то BK = (2/5)BC = (2/5)AD = (2/5)b BA = -AB = -a KA = -(2/5)b - a Выразим AL через вектор b: AL = (3/5)AD = (3/5)b Теперь выразим KL: KL = KA + AL = -(2/5)b - a + (3/5)b = (1/5)b - a KL = -a + (1/5)b Задача 2: В трапеции ABCD с основаниями AD = 20 и BC = 8, O - точка пересечения диагоналей. Нужно разложить вектор DO по векторам AD = a и AB = b. Сначала найдем соотношение AO : OC и DO : OB. Так как AD || BC, то треугольники BOC и DOA подобны. Значит: BO / OD = BC / AD = 8 / 20 = 2 / 5 То есть OD = (5/2)BO BD = BO + OD = BO + (5/2)BO = (7/2)BO BO = (2/7)BD OD = (5/7)BD Теперь выразим DO через BD: DO = -OD = -(5/7)BD Разложим BD через векторы BA и AD: BD = BA + AD = -AB + AD = -b + a Подставим в выражение для DO: DO = -(5/7)(-b + a) = (5/7)b - (5/7)a DO = -(5/7)a + (5/7)b Задача 3: В ромбе ABCD диагонали AC = a, BD = b. Точка K ∈ BD и BK : KD = 1 : 3. Надо найти величину |AK|. Выразим BK через BD: BK = (1/4)BD Выразим AK через AB и BK: AK = AB + BK Так как ABCD - ромб, то диагонали перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения. Пусть O - точка пересечения диагоналей. Тогда: AO = (1/2)AC = (1/2)a BO = (1/2)BD = (1/2)b Выразим AB через AO и OB: AB = AO + OB = (1/2)a + (1/2)b Теперь выразим AK: AK = AB + BK = (1/2)a + (1/2)b + (1/4)BD = (1/2)a + (1/2)b + (1/4)b = (1/2)a + (3/4)b |AK| = |(1/2)a + (3/4)b| Задача 5: В прямоугольнике ABCD известно, что AD = a, DC = b, O - точка пересечения диагоналей. Найти величину |AB + DO - OB + OC + CD|. Выразим векторы через a и b: AB = DC = b CD = -DC = -b AD = BC = a OB = (1/2)DB = (1/2)(DA + AB) = (1/2)(-a + b) OC = (1/2)AC = (1/2)(AD + DC) = (1/2)(a + b) DO = -OB = -(1/2)(-a + b) = (1/2)(a - b) Теперь найдем сумму векторов: AB + DO - OB + OC + CD = b + (1/2)(a - b) - (1/2)(-a + b) + (1/2)(a + b) - b = b + (1/2)a - (1/2)b + (1/2)a - (1/2)b + (1/2)a + (1/2)b - b = (1/2)a + (1/2)a + (1/2)a + b - (1/2)b - (1/2)b + (1/2)b - b = (3/2)a |AB + DO - OB + OC + CD| = |(3/2)a| = (3/2)|a|

Ответ: 1) KL = -a + (1/5)b; 2) DO = -(5/7)a + (5/7)b; 3) |AK| = |(1/2)a + (3/4)b|; 5) (3/2)|a|

Ты молодец! У тебя всё получится!