Вариант 2 «Числовые последовательности» № 1. Найдите восьмой член и сумму первых восьми членов арифметической прогрессии (аn), если а₁ = 1, а₂ = 4. № 2. Найдите четвёртый член и сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), если b₁ = 1/9 и q = 3. № 3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -64, 32, -16, ... № 4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (аn), равного 3,6, если a = 2,4 и d = 0,2. № 5. Какие два числа надо вставить между числами 8 и -64, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию? № 6. При каком значении х значения выражений 3х – 2, х + 2 и х + 8 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии. № 7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 5, которые больши 150 и меньше 250

№1. Арифметическая прогрессия

Дано: арифметическая прогрессия (an), a₁ = 1, a₂ = 4.

Найти: a₈ и S₈.

• Шаг 1: Найдем разность арифметической прогрессии:

\[ d = a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3 \]

• Шаг 2: Найдем восьмой член прогрессии:

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] \[ a_8 = 1 + (8 - 1) \cdot 3 = 1 + 7 \cdot 3 = 1 + 21 = 22 \]

• Шаг 3: Найдем сумму первых восьми членов:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \] \[ S_8 = \frac{1 + 22}{2} \cdot 8 = \frac{23}{2} \cdot 8 = 23 \cdot 4 = 92 \]

Ответ: a₈ = 22, S₈ = 92

№2. Геометрическая прогрессия

Дано: геометрическая прогрессия (bn), b₁ = 1/9, q = 3.

Найти: b₄ и S₅.

• Шаг 1: Найдем четвертый член прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] \[ b_4 = \frac{1}{9} \cdot 3^{4-1} = \frac{1}{9} \cdot 3^3 = \frac{1}{9} \cdot 27 = 3 \]

• Шаг 2: Найдем сумму первых пяти членов:

\[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \] \[ S_5 = \frac{\frac{1}{9}(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{1}{9}(243 - 1)}{2} = \frac{\frac{1}{9} \cdot 242}{2} = \frac{242}{18} = \frac{121}{9} \]

Ответ: b₄ = 3, S₅ = 121/9

№3. Бесконечная геометрическая прогрессия

Дано: бесконечная геометрическая прогрессия -64, 32, -16, ...

Найти: S

• Шаг 1: Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

\[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{32}{-64} = -\frac{1}{2} \]

• Шаг 2: Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии:

\[ S = \frac{b_1}{1 - q} \] \[ S = \frac{-64}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-64}{\frac{3}{2}} = -64 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{128}{3} \]

Ответ: S = -128/3

№4. Арифметическая прогрессия

Дано: арифметическая прогрессия (an), a = 2.4, d = 0.2, aₙ = 3.6.

Найти: n

• Шаг 1: Найдем номер члена прогрессии:

\[ a_n = a + (n - 1)d \] \[ 3.6 = 2.4 + (n - 1) \cdot 0.2 \] \[ 1.2 = (n - 1) \cdot 0.2 \] \[ n - 1 = \frac{1.2}{0.2} = 6 \] \[ n = 7 \]

Ответ: n = 7

№5. Геометрическая прогрессия

Дано: числа 8 и -64.

Найти: два числа, которые вместе с данными образовали геометрическую прогрессию.

• Шаг 1: Пусть данные числа образуют геометрическую прогрессию: b₁, b₂, b₃, b₄.
• Шаг 2: Тогда b₁ = 8, b₄ = -64.
• Шаг 3: Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

\[ b_4 = b_1 \cdot q^3 \] \[ -64 = 8 \cdot q^3 \] \[ q^3 = -8 \] \[ q = -2 \]

• Шаг 4: Найдем недостающие члены:

\[ b_2 = b_1 \cdot q = 8 \cdot (-2) = -16 \] \[ b_3 = b_2 \cdot q = -16 \cdot (-2) = 32 \]

Ответ: -16, 32

№6. Геометрическая прогрессия

Дано: 3x - 2, x + 2, x + 8 - последовательные члены геометрической прогрессии.

Найти: x и члены прогрессии.

• Шаг 1: Запишем условие для геометрической прогрессии:

\[ \frac{x + 2}{3x - 2} = \frac{x + 8}{x + 2} \]

• Шаг 2: Решим уравнение:

\[ (x + 2)^2 = (3x - 2)(x + 8) \] \[ x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 24x - 2x - 16 \] \[ 2x^2 + 18x - 20 = 0 \] \[ x^2 + 9x - 10 = 0 \] \[ (x + 10)(x - 1) = 0 \] \[ x_1 = -10, x_2 = 1 \]

• Шаг 3: Подставим значения x и найдем члены прогрессии:

При x = -10:

\[ 3x - 2 = 3(-10) - 2 = -32 \] \[ x + 2 = -10 + 2 = -8 \] \[ x + 8 = -10 + 8 = -2 \]

Прогрессия: -32, -8, -2

При x = 1:

\[ 3x - 2 = 3(1) - 2 = 1 \] \[ x + 2 = 1 + 2 = 3 \] \[ x + 8 = 1 + 8 = 9 \]

Прогрессия: 1, 3, 9

Ответ: x = -10, прогрессия -32, -8, -2 или x = 1, прогрессия 1, 3, 9

№7. Сумма натуральных чисел

Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 5, которые больше 150 и меньше 250.

• Шаг 1: Определим первый и последний члены последовательности:

Первое число больше 150 и кратное 5: 155.

Последнее число меньше 250 и кратное 5: 245.

• Шаг 2: Найдем количество членов последовательности:

Это арифметическая прогрессия с a₁ = 155, aₙ = 245 и d = 5.

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] \[ 245 = 155 + (n - 1)5 \] \[ 90 = (n - 1)5 \] \[ n - 1 = 18 \] \[ n = 19 \]

• Шаг 3: Найдем сумму членов последовательности:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \] \[ S_{19} = \frac{155 + 245}{2} \cdot 19 = \frac{400}{2} \cdot 19 = 200 \cdot 19 = 3800 \]

Ответ: 3800