Вариант 1 1. Дан прямоугольник АВСD. Укажите равные векторы. 2. На плоскости взяты произвольно пять точек: А, В, С, D и F. Докажите равенство: AB+BC+CD+DF=AD+DC+CF. 3. Начертите 2 неколлинеарных вектора. Найдите сумму этих векторов с помощью правила треугольника и параллелограмма. Найдите длины этих векторов.

Решение:

1. В прямоугольнике ABCD равные векторы:

   • $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$$
   • $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$$

   Также равны противоположно направленные векторы, отличающиеся знаком:

   • $$\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD}$$
   • $$\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}$$
   • $$\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{CB}$$
   • $$\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{AB}$$

2. Докажем равенство: $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}$$

   Воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника):

   $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$

   Тогда левая часть равенства:

   $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{AF}$$

   Правая часть равенства:

   $$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AF}$$

   Так как левая и правая части равны $$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AF}$$, то равенство доказано.

3. Пусть даны два неколлинеарных вектора $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$.

         b
         ↑
         ·-------→
         |      /
         |     /  c
         |    /   ↓
         |   /    a
         |  /     ↓
         | /      ·
         O/_______
          a
      

   Сумма векторов $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$ есть вектор $$\overrightarrow{c}$$.

   Правило треугольника:

   От конца вектора $$\overrightarrow{a}$$ откладываем вектор $$\overrightarrow{b}$$. Суммой векторов $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$ является вектор, соединяющий начало вектора $$\overrightarrow{a}$$ и конец вектора $$\overrightarrow{b}$$.

   Правило параллелограмма:

           b
           ↑
          /|------→
         / |     /
        /  |    /  c
       /   |   /   ↓
      /    |  /    a
     /     | /     ↓
    /      |/      ·
   O-------|_______
    a
      

   Строим параллелограмм на векторах $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$. Суммой векторов $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$ является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, исходящей из общего начала векторов $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$.

   Длины векторов $$|\overrightarrow{a}|$$, $$|\overrightarrow{b}|$$ и $$|\overrightarrow{c}|$$ могут быть измерены линейкой, если векторы начерчены в определенном масштабе.

Ответ: смотри решение