Вариант 2 1. Дана функция у = 0,5х44х2. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1, 3]. 2. Постройте график функции y=0,5x14x². 3. Составьте уравнение касательной к графику функ- ции у = 6 x в точке х=3. 4. Площадь прямоугольного треугольника 6 см². Най- дите наименьшее значение площади квадрата, по- строенного на гипотенузе треугольника. 5. Постройте график функции y= 8x x² + 4

1. Исследование функции y = 0.5x⁴ - 4x²

а) Промежутки возрастания и убывания функции:

• Находим первую производную функции:

\[ y' = 2x^3 - 8x \]

• Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

\[ 2x^3 - 8x = 0 \] \[ 2x(x^2 - 4) = 0 \] \[ x = 0, x = -2, x = 2 \]

• Определяем знаки производной на интервалах:

        x < -2   -2 < x < 0    0 < x < 2    x > 2
  y'    -        +           -           +
  Функция убывает | возрастает | убывает | возрастает
  

• Функция убывает на промежутках (-∞, -2) и (0, 2).
• Функция возрастает на промежутках (-2, 0) и (2, ∞).

б) Точки экстремума:

• Точки экстремума - это точки, где производная равна нулю или не существует, и при переходе через которые производная меняет знак.

• x = -2 - точка минимума, y(-2) = 0.5(-2)⁴ - 4(-2)² = 0.5(16) - 4(4) = 8 - 16 = -8.
• x = 0 - точка максимума, y(0) = 0.5(0)⁴ - 4(0)² = 0.
• x = 2 - точка минимума, y(2) = 0.5(2)⁴ - 4(2)² = 0.5(16) - 4(4) = 8 - 16 = -8.

• Точки экстремума: (-2, -8) - минимум, (0, 0) - максимум, (2, -8) - минимум.

в) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1, 3]:

• Проверяем значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку.

• y(-1) = 0.5(-1)⁴ - 4(-1)² = 0.5 - 4 = -3.5
• y(3) = 0.5(3)⁴ - 4(3)² = 0.5(81) - 4(9) = 40.5 - 36 = 4.5
• y(0) = 0
• y(2) = -8 (уже вычислено)

• Наибольшее значение функции на отрезке [-1, 3]: 4.5 (в точке x = 3).
• Наименьшее значение функции на отрезке [-1, 3]: -8 (в точке x = 2).

2. Построение графика функции y = 0.5x⁴ - 4x²

• Основываясь на анализе функции в первой задаче, мы знаем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и значения на определенных участках.
• Можно построить график, используя эти данные.

3. Уравнение касательной к графику функции y = 6/x в точке x = 3

• Находим значение функции в точке x = 3:

\[ y(3) = \frac{6}{3} = 2 \]

• Находим производную функции:

\[ y' = -\frac{6}{x^2} \]

• Находим значение производной в точке x = 3:

\[ y'(3) = -\frac{6}{3^2} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3} \]

• Уравнение касательной:

\[ y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0) \] \[ y = -\frac{2}{3}(x - 3) + 2 \] \[ y = -\frac{2}{3}x + 2 + 2 \] \[ y = -\frac{2}{3}x + 4 \]

4. Наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника

• Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, площадь которого равна 6 см².
• Площадь треугольника:

\[ \frac{1}{2}ab = 6 \Rightarrow ab = 12 \]

• Гипотенуза c:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

• Площадь квадрата, построенного на гипотенузе:

\[ S = c^2 = a^2 + b^2 \]

• Нам нужно найти минимум S при условии ab = 12.
• Выразим b через a:

\[ b = \frac{12}{a} \]

• Тогда:

\[ S = a^2 + \left(\frac{12}{a}\right)^2 = a^2 + \frac{144}{a^2} \]

• Находим производную S по a:

\[ S' = 2a - \frac{288}{a^3} \]

• Приравниваем производную к нулю:

\[ 2a = \frac{288}{a^3} \Rightarrow a^4 = 144 \Rightarrow a^2 = 12 \Rightarrow a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

• Находим b:

\[ b = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \]

• Тогда:

\[ c^2 = a^2 + b^2 = 12 + 12 = 24 \]

• Наименьшее значение площади квадрата:

\[ S = c^2 = 24 \]

5. Постройте график функции y = 8x / (x² + 4)

• Определим несколько точек для построения графика.

Ты - Цифровой атлет!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей