Вариант 1 1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОВ, 6) АС, BD: B) SAOC, SBOD. 2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 1 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK MK = 8 см, MN = 12 см, КN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если ∠A = 80°, ∠B = 60°. 3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК||AC, BM : AM = 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см. 4. * В трапеции ABCD (AD и ВС основание) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Задача 1

Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОB, б) AC, BD: в) S_AOC, S_BOD.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники АОС и BOD. Угол A равен углу B (по условию). Углы AОC и BOD равны как вертикальные. Следовательно, треугольники АОС и BOD подобны по двум углам.
2. Из подобия треугольников следует пропорция:
   $$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$$,
   $$\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}$$,
   $$BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$$.
3. AC = AO + CO = 5 + 4 = 9.
4. BD = BO + DO = 7.5 + 6 = 13.5.
5. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
   $$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = (\frac{AO}{BO})^2 = (\frac{5}{7.5})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$,
   $$S_{AOC} = \frac{4}{9} S_{BOD}$$.
   Так как треугольники AOC и BOC имеют общую высоту, проведенную из вершины C, то их площади относятся как длины оснований:
   $$\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}$$,
   $$S_{BOC} = \frac{3}{2} S_{AOC}$$.
   Аналогично:
   $$\frac{S_{AOD}}{S_{BOD}} = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}$$,
   $$S_{AOD} = \frac{2}{3} S_{BOD}$$.
   Но $$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \frac{4}{9}$$, следовательно,
   $$S_{AOC} = \frac{4}{9} S_{BOD} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} S_{AOD} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} S_{AOD} = S_{AOD} = 45\text{ (условие задачи)}$$,
   $$S_{BOD} = \frac{3}{2} S_{AOD} = \frac{3}{2} \cdot 45 = 67.5$$.
   

Ответ: а) OB = 7.5; б) AC = 9, BD = 13.5; в) S_AOC = 45, S_BOD = 67.5

Задача 2

Дано: В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 1 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK MK = 8 см, MN = 12 см, KN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если ∠A = 80°, ∠B = 60°.

Решение:

В задаче указаны углы ∠A и ∠B, но не указано, к какому треугольнику они относятся. Будем считать, что данные углы относятся к треугольнику MNK, т.е. ∠M = 80°, ∠N = 60°.

Тогда угол K равен:
∠K = 180° - ∠M - ∠N = 180° - 80° - 60° = 40°.

Ответ: ∠M = 80°, ∠N = 60°, ∠K = 40°

Задача 3

Дано: Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК||AC, BM : AM = 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.

Решение:

1. Пусть BM = x, AM = 4x. Тогда AB = BM + AM = x + 4x = 5x.
2. Поскольку MK || AC, то треугольник BMK подобен треугольнику BAC.
3. Коэффициент подобия: k = BM / BA = x / 5x = 1/5.
4. Следовательно, все стороны треугольника BMK в 5 раз меньше сторон треугольника BAC.
5. P_BMK = P_ABC / 5 = 25 / 5 = 5 см.

Ответ: 5 см

Задача 4

Дано: В трапеции ABCD (AD и BC основание) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, BC = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Решение:

1. Треугольники BOC и AOD подобны.
2. Коэффициент подобия: k = BC / AD = 4 / 12 = 1/3.
3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S_BOC / S_AOD = k² = (1/3)² = 1/9.
4. S_BOC = S_AOD / 9 = 45 / 9 = 5 см².

Ответ: 5 см²