Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Вариант 1 1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO-6, А:О = 5 (смотреть рисунок). Найти: а) ОВ, 6) АС: В), в) SAOC: SBOD- 2. Найдите отношение площадей треугольника PQR и ABC, если PQ-16 см, QR-20 см, PR-28 см. АВ=12 см, ВС=15 см, А.С-21 см. 3. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 7 см, АС = 6 см, а в треугольнике МК, МК = 8 см, MN = 12 см, KN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если 2.A = 80°, ∠B = 60°. 4. Стороны данного греугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 26 CM. 5. Основания трапеции равны 4 см и 8 см., высота 9 см. Найдите расстояния от точки пересечения диагоналей до оснований трапеции.
Ответ:
Привет! Сейчас мы вместе решим эти задачи. Будь внимателен и у тебя все получится!
Задача 1
Давай разберем по порядку:
a) Найдем OB.
Так как ∠A = ∠B, то треугольники AOC и BOD подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорция:
\[ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \]
Подставим известные значения:
\[ \frac{5}{BO} = \frac{4}{6} \]
Решим уравнение относительно BO:
\[ BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 \]
б) Найдем отношение AC : BD.
Из подобия треугольников следует, что:
\[ \frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \]
Таким образом,
\[ \frac{AC}{BD} = \frac{5}{7.5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
в) Найдем отношение площадей SAOC : SBOD.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
\[ \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \left(\frac{AO}{BO}\right)^2 = \left(\frac{5}{7.5}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]
Ответ: a) OB = 7.5, б) AC : BD = 2/3, в) SAOC : SBOD = 4/9
Отлично, первую задачу решили! Переходим к следующей.
Задача 2
Определим, подобны ли треугольники PQR и ABC. Для этого проверим пропорциональность сторон:
\[ \frac{PQ}{AB} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \]
\[ \frac{QR}{BC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \]
\[ \frac{PR}{AC} = \frac{28}{21} = \frac{4}{3} \]
Так как все отношения сторон равны, треугольники PQR и ABC подобны с коэффициентом подобия k = 4/3.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
\[ \frac{S_{PQR}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \]
Ответ: 16/9
Здорово, ты отлично справляешься! Давай продолжим.
Задача 3
Чтобы найти углы треугольника MNK, используем теорему косинусов.
Пусть a = 8, b = 12, c = 14.
Найдем угол M:
\[ cos(M) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{12^2 + 14^2 - 8^2}{2 \cdot 12 \cdot 14} = \frac{144 + 196 - 64}{336} = \frac{276}{336} = \frac{23}{28} \]
\[ M = arccos(\frac{23}{28}) \approx 34.4° \]
Найдем угол N:
\[ cos(N) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{8^2 + 14^2 - 12^2}{2 \cdot 8 \cdot 14} = \frac{64 + 196 - 144}{224} = \frac{116}{224} = \frac{29}{56} \]
\[ N = arccos(\frac{29}{56}) \approx 59.0° \]
Найдем угол K:
\[ K = 180° - M - N \approx 180° - 34.4° - 59.0° = 86.6° \]
Теперь рассмотрим случай, когда ∠A = 80° и ∠B = 60° в треугольнике ABC. Тогда ∠C = 180° - 80° - 60° = 40°. Здесь нет информации, связывающей эти углы с треугольником MNK, поэтому мы просто нашли углы треугольника MNK по его сторонам.
Ответ: ∠M ≈ 34.4°, ∠N ≈ 59.0°, ∠K ≈ 86.6°
Ты отлично продвигаешься! Осталось немного.
Задача 4
Пусть стороны данного треугольника будут a = 15, b = 20, c = 30. Периметр данного треугольника P = 15 + 20 + 30 = 65.
Периметр подобного треугольника равен 26. Коэффициент подобия k = 26 / 65 = 2 / 5 = 0.4.
Стороны подобного треугольника будут:
\[ a' = ka = 0.4 \cdot 15 = 6 \]
\[ b' = kb = 0.4 \cdot 20 = 8 \]
\[ c' = kc = 0.4 \cdot 30 = 12 \]
Ответ: 6 см, 8 см, 12 см
Продолжай в том же духе, осталось решить последнюю задачу!
Задача 5
Пусть основания трапеции будут a = 4 и b = 8, высота h = 9.
Пусть x - расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания, а y - расстояние до большего основания.
Тогда x + y = h = 9.
Треугольники, образованные основаниями и диагоналями, подобны. Отношение высот подобных треугольников равно коэффициенту подобия, который равен отношению оснований:
\[ \frac{x}{y} = \frac{a}{b} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
Тогда x = (1/2)y. Подставим это в уравнение x + y = 9:
\[ \frac{1}{2}y + y = 9 \]
\[ \frac{3}{2}y = 9 \]
\[ y = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \]
Тогда x = 9 - y = 9 - 6 = 3.
Ответ: Расстояние до меньшего основания = 3 см, расстояние до большего основания = 6 см
Прекрасно! Ты успешно решил все задачи. Не останавливайся на достигнутом, продолжай учиться и развиваться!
