Вариант 1 1. Дано: ∠BAD = ∠BCD = 90°, LADB = 15°, ∠BDC = 75° (рис. 4.245). Доказать: AD || BC. 2. В треугольнике ABC ∠C = 60°, ∠B = 90°. Высота ВВ, равна 2 см. Найти: АВ. 3. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к нему из вершины треугольника. 4*. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 150°.

Задание 1

Для доказательства, что AD || BC, нужно показать, что внутренние накрест лежащие углы равны.

• ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 15° + 75° = 90°
• ∠BAD = ∠BCD = 90° (дано)

Так как ∠ADC = ∠BCD = 90°, то AD || BC (по признаку равенства внутренних накрест лежащих углов).

Ответ: AD || BC доказано

Задание 2

В прямоугольном треугольнике ABC (∠B = 90°) известна высота BB₁ и угол ∠C = 60°.

Рассмотрим треугольник BB₁C, в котором ∠BB₁C = 90°.

Тогда ∠B₁BC = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°.

В прямоугольном треугольнике BB₁C катет BB₁ лежит против угла 30°, следовательно, BC = 2 ⋅ BB₁ = 2 ⋅ 2 = 4 см.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. sin(∠C) = AB / BC

AB = BC ⋅ sin(∠C) = 4 ⋅ sin(60°) = 4 ⋅ (√3 / 2) = 2√3 см.

Ответ: AB = 2√3 см

Задание 3

Для построения равнобедренного треугольника по основанию и высоте, проведенной к нему из вершины, выполните следующие шаги:

• Начертите основание.
• Найдите середину основания.
• Из середины основания проведите перпендикуляр, равный заданной высоте.
• Соедините конец высоты с концами основания.

Построение выполнено.

Задание 4

Для построения угла, равного 150°, с помощью циркуля и линейки:

• Постройте угол 90° (прямой угол).
• Постройте угол 60° (например, как угол равностороннего треугольника).
• Сложите эти углы: 90° + 60° = 150°.

Построение выполнено.