Вариант 1 1. Дано: а|| b, с - секущая, 21:22 = 7 : 2 (рис. 3.175) Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: 21 = 22, 23 в 4 раза меньше 24 (рис. 3.176). Найти: 23, 24. 3. Отрезок DM - биссектриса ACDE. Через точку М про- ведена прямая, пересекающая сторону DE в точке № так, что DN = MN. Найдите углы ADMN, если ∠CDE = 74°. 4*. Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, про- ведены перпендикуляры АС и BD к этой прямой, ∠BAC = 117°. а) Найти: ∠ABD. б) Доказать: прямые AB и CD пересекаются.

Разберем каждое задание по отдельности.

Задание 1.

Дано: a || b, c – секущая, ∠1 : ∠2 = 7 : 2.

Найти: все образовавшиеся углы.

Решение:

Обозначим ∠1 = 7x, ∠2 = 2x. Т.к. a || b, то ∠1 и ∠2 – односторонние углы, сумма которых равна 180°.

Составим уравнение:

7x + 2x = 180°

9x = 180°

x = 20°

∠1 = 7 * 20° = 140°

∠2 = 2 * 20° = 40°

∠3 = ∠1 = 140° (как вертикальные)

∠4 = ∠2 = 40° (как вертикальные)

∠5 = ∠2 = 40° (как соответственные)

∠6 = ∠1 = 140° (как соответственные)

∠7 = ∠5 = 40° (как вертикальные)

∠8 = ∠6 = 140° (как вертикальные)

Ответ: ∠1 = 140°, ∠2 = 40°, ∠3 = 140°, ∠4 = 40°, ∠5 = 40°, ∠6 = 140°, ∠7 = 40°, ∠8 = 140°.

Задание 2.

Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 в 4 раза меньше ∠4.

Найти: ∠3, ∠4.

Решение:

Т.к. ∠1 = ∠2, то с – биссектриса угла, образованного пересечением прямых a и b. Следовательно, a || b (если секущая образует равные внутренние накрест лежащие углы с двумя прямыми, то эти прямые параллельны).

Т.к. a || b, то ∠3 и ∠4 – односторонние углы, сумма которых равна 180°.

Пусть ∠3 = x, тогда ∠4 = 4x.

Составим уравнение:

x + 4x = 180°

5x = 180°

x = 36°

∠3 = 36°

∠4 = 4 * 36° = 144°

Ответ: ∠3 = 36°, ∠4 = 144°.

Задание 3.

Дано: DM – биссектриса ∠ACDE, DN = MN, ∠CDE = 74°.

Найти: углы ΔDMN.

Решение:

∠CDN = ∠MDE = ∠CDE / 2 = 74° / 2 = 37° (т.к. DM – биссектриса).

ΔDMN – равнобедренный (DN = MN), следовательно, ∠MDN = ∠DMN = (180° - ∠DNM) / 2.

∠DNM = 180° - ∠MDE = 180° - 37° = 143° (как смежные).

∠MDN = ∠DMN = (180° - 143°) / 2 = 37° / 2 = 18,5°.

В задаче есть ошибка в условии. Должно быть DN = MN.

Ответ: ∠MDN = 18,5°, ∠DMN = 18,5°, ∠DNM = 143°.

Задание 4.

Дано: AC ⊥ прямой, BD ⊥ прямой, ∠BAC = 117°.

a) Найти: ∠ABD.

Решение:

∠BCA = ∠BDA = 90° (т.к. AC и BD – перпендикуляры).

∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180° (сумма углов треугольника).

∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 117° - 90° = -27°. Угол не может быть отрицательным, значит, в условии ошибка.

Ответ: нет решения, т.к. в условии ошибка.

б) Доказать: прямые AB и CD пересекаются.

Доказательство:

Предположим, что прямые AB и CD не пересекаются, то есть они параллельны.

Тогда ∠BAC = ∠ACD = 117° (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).

Но ∠ACD = 90° (т.к. AC ⊥ прямой).

Получили противоречие: 117° = 90°.

Следовательно, наше предположение неверно, и прямые AB и CD пересекаются.

Ответ: прямые AB и CD пересекаются.