Вариант 1 №1. Дано: а||b, c - секущая, 41 + 2 = 124° (рис. 1). Найти все образовавшиеся углы. a №2. Дано: 21 = 42, 43 = 98° (рис. 2). Найти: 24. №3. Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС. Через в точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 64°. №4. Дано: а||ь, с - секущая, 21:22 = 4 : 5 (рис. 3.). Найти: 41, 42. №5. Дано: 21 = 22, 23 в 8 раз меньше 24 (рис. 4). Найти: 43, 44.

№1

Дано: a || b, c - секущая, ∠1 + ∠2 = 124°

Найти все образовавшиеся углы.

Решение:

Сумма смежных углов равна 180°, поэтому ∠1 + ∠2 = 124°. ∠1 и ∠2 - односторонние углы. Обозначим ∠1 = x, тогда ∠2 = 124° - x. Т.к. a||b, то ∠1 + ∠2 = 180° (сумма односторонних углов равна 180°)

Составим уравнение: x + 124° - x = 180°

124° - x = 180°

2x = 180° - 124°

2x = 56°

x = 28°

∠1 = 28°

∠2 = 124° - 28° = 96°

∠3 = ∠1 = 28° (как вертикальные)

∠4 = ∠2 = 96° (как вертикальные)

∠5 = ∠3 = 28° (как соответственные при параллельных прямых a и b и секущей c)

∠6 = ∠4 = 96° (как соответственные при параллельных прямых a и b и секущей c)

∠7 = ∠5 = 28° (как вертикальные)

∠8 = ∠6 = 96° (как вертикальные)

Ответ: ∠1 = 28°, ∠2 = 96°, ∠3 = 28°, ∠4 = 96°, ∠5 = 28°, ∠6 = 96°, ∠7 = 28°, ∠8 = 96°

№2

Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 98°

Найти: ∠4

Решение:

Т.к. ∠1 = ∠2, то треугольник равнобедренный, значит ∠1 = ∠2 = (180 - ∠3)/2 = (180 - 98)/2 = 82/2 = 41°

∠4 = 180 - ∠2 - ∠1 = 180 - 41 - 41 = 98°

Ответ: ∠4 = 98°

№3

Дано: AD - биссектриса ΔABC, DF || AB, ∠BAC = 64°

Найти углы ΔADF

Решение:

Т.к. AD - биссектриса ∠BAC, то ∠DAF = ∠BAC/2 = 64°/2 = 32°

Т.к. DF || AB, то ∠ADF = ∠DAB как накрест лежащие. ∠DAB = ∠DAF = 32°

В ΔADF, ∠AFD = 180 - ∠ADF - ∠DAF = 180 - 32 - 32 = 116°

Ответ: ∠DAF = 32°, ∠ADF = 32°, ∠AFD = 116°

№4

Дано: a || b, c - секущая, ∠1:∠2 = 4:5

Найти ∠1 и ∠2

Решение:

Так как прямые a и b параллельны, а c - секущая, то углы ∠1 и ∠2 - односторонние и в сумме составляют 180°.

Пусть ∠1 = 4x, а ∠2 = 5x. Тогда 4x + 5x = 180°.

9x = 180°

x = 20°

∠1 = 4 * 20° = 80°

∠2 = 5 * 20° = 100°

Ответ: ∠1 = 80°, ∠2 = 100°

№5

Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 в 8 раз меньше ∠4

Найти: ∠3 и ∠4

Решение:

Пусть ∠3 = x, тогда ∠4 = 8x. Сумма углов треугольника равна 180°, значит ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Т.к. ∠1 = ∠2, то ∠1 = (180 - ∠3)/2 = (180 - x)/2

Сумма смежных углов равна 180°, значит ∠3 + ∠4 = 180°

x + 8x = 180°

9x = 180°

x = 20°

∠3 = 20°

∠4 = 8 * 20° = 160°

Ответ: ∠3 = 20°, ∠4 = 160°