Вариант 1 №1. Дано: а||b, с — секущая, 41 + 2 = 114° (рис. 1). Найти все образовавшиеся углы. №2. Дано: 21 = 22, 23 = 98° (рис. 2). Найти: 24. №3. Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС. Через в точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 64°. №4. Дано: а||b, с - секущая, 21 : 22 = 4 : 5 (рис. 3.). Найти: 21, 22. №5. Дано: 21 = 22, 23 в 8 раз меньше 44 (рис. 4). Найти: 23, 24. №6. Дано: АС = ВC, 43 = 45, 43 + 21 = 88° (рис. 5). Найти: 41, 42, 43, 44, 45.

Решение №1:

• Дано: a || b, c — секущая, ∠1 + ∠2 = 114°.
• Найти все образовавшиеся углы.

Решение:

• ∠1 и ∠2 – односторонние углы, значит, ∠1 + ∠2 = 114°.
• Сумма односторонних углов равна 180°, поэтому ∠1 + ∠2 = 180° – 114° = 66°.
• ∠1 = ∠2 = 114° : 2 = 57°.
• Вертикальные углы равны, значит, угол, вертикальный ∠1 также равен 57°, и угол, вертикальный ∠2, также равен 57°.
• Смежные с ∠1 и ∠2 углы равны 180° – 57° = 123°.

Решение №2:

• Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 98°.
• Найти: ∠4.

Решение:

• ∠3 и ∠4 – смежные углы, значит, ∠3 + ∠4 = 180°.
• ∠4 = 180° – ∠3 = 180° – 98° = 82°.

Решение №3:

• Дано: AD – биссектриса треугольника ABC, DF || AB, ∠BAC = 64°.
• Найти углы треугольника ADF.

Решение:

• ∠ADF = ∠BAC (соответственные углы при DF || AB и секущей AC).
• ∠ADF = 64°.
• ∠DAF = ∠DAC (AD – биссектриса).
• ∠DAC = ∠BAC : 2 = 64° : 2 = 32°.
• В треугольнике ADF: ∠AFD = 180° – ∠ADF – ∠DAF = 180° – 64° – 32° = 84°.

Решение №4:

• Дано: a || b, c — секущая, ∠1 : ∠2 = 4 : 5.
• Найти: ∠1, ∠2.

Решение:

• ∠1 и ∠2 – односторонние углы, значит, ∠1 + ∠2 = 180°.
• Пусть ∠1 = 4x, ∠2 = 5x.
• 4x + 5x = 180°.
• 9x = 180°.
• x = 20°.
• ∠1 = 4 * 20° = 80°.
• ∠2 = 5 * 20° = 100°.

Решение №5:

• Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 в 8 раз меньше ∠4.
• Найти: ∠3, ∠4.

Решение:

• ∠3 и ∠4 – смежные углы, значит, ∠3 + ∠4 = 180°.
• Пусть ∠3 = x, тогда ∠4 = 8x.
• x + 8x = 180°.
• 9x = 180°.
• x = 20°.
• ∠3 = 20°.
• ∠4 = 8 * 20° = 160°.

Решение №6:

• Дано: AC = BC, ∠3 = ∠5, ∠3 + ∠1 = 88°.
• Найти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5.

Решение:

• В треугольнике ABC: AC = BC, значит, треугольник ABC – равнобедренный.
• ∠3 = ∠5 (по условию).
• ∠4 = ∠2 (вертикальные углы).
• ∠3 + ∠1 = 88°.
• ∠1 = 88° – ∠3.
• ∠3 = (180° – ∠1) : 2 (так как ∠3 и ∠5 – углы при основании равнобедренного треугольника).
• ∠3 = (180° – (88° – ∠3)) : 2.
• 2 * ∠3 = 180° – 88° + ∠3.
• ∠3 = 92°.
• ∠1 = 88° – 92° = -4°. (Противоречие, невозможно вычислить углы при таких условиях)