Вариант 1 1. Дано: a || ь, с – секущая, ∠1 + ∠2 = 102° (рис. 3.171). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 120° (рис. 3.172). Найти: ∠4. 3. Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС. Через точ- ку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекаю- щая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°. 4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN (E∈ CD, K∈ MN). ∠DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

1. Дано: $$a \parallel b$$, $$c$$ - секущая, $$\angle 1 + \angle 2 = 102^\circ$$. Найти: все образовавшиеся углы.

Решение:

• Так как $$a \parallel b$$, то $$\angle 1 = \angle 2$$ как соответственные углы. Значит, можем записать:

  $$\angle 1 + \angle 1 = 102^\circ$$

  $$2 \cdot \angle 1 = 102^\circ$$

  $$\angle 1 = 51^\circ$$

  $$\angle 2 = 51^\circ$$

• $$\angle 1$$ и $$\angle 3$$ - смежные, значит, их сумма равна 180°:

  $$\angle 3 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ$$

• $$\angle 3 = \angle 4 = 129^\circ$$ как соответственные углы.

• $$\angle 5 = \angle 1 = 51^\circ$$ как вертикальные углы.

• $$\angle 6 = \angle 2 = 51^\circ$$ как вертикальные углы.

• $$\angle 7 = \angle 3 = 129^\circ$$ как вертикальные углы.

• $$\angle 8 = \angle 4 = 129^\circ$$ как вертикальные углы.

2. Дано: $$\angle 1 = \angle 2$$, $$\angle 3 = 120^\circ$$ (рис. 3.172). Найти: $$\angle 4$$.

Решение:

• Сумма углов треугольника равна 180°. В треугольнике ABC:

  $$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$$

  Так как $$\angle 1 = \angle 2$$, то:

  $$2 \cdot \angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$$

  $$2 \cdot \angle 1 = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

  $$\angle 1 = 30^\circ$$

  $$\angle 2 = 30^\circ$$

• $$\angle 2$$ и $$\angle 4$$ - смежные, значит, их сумма равна 180°:

  $$\angle 4 = 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$$

3. Отрезок AD - биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AC в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если $$\angle BAC = 72^\circ$$.

Решение:

• Так как AD - биссектриса, то $$\angle DAF = \frac{1}{2} \cdot \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$$.

• Так как DF || AB, то $$\angle ADF = \angle DAB$$ как накрест лежащие углы. Значит, $$\angle ADF = 36^\circ$$.

• Сумма углов треугольника равна 180°: $$\angle AFD = 180^\circ - \angle DAF - \angle ADF = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ$$.

4*. Прямая EK является секущей для прямых CD и MN (E ∈ CD, K ∈ MN). $$\angle DEK$$ равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

Решение:

Прямые CD и MN будут параллельными, если $$\angle DEK = \angle NKE$$ как накрест лежащие углы. Значит, $$\angle NKE$$ должен быть равен 65°.

Ответ: 1) Все образовавшиеся углы: $$ \angle 1 = 51^\circ$$, $$ \angle 2 = 51^\circ$$, $$ \angle 3 = 129^\circ$$, $$ \angle 4 = 129^\circ$$, $$ \angle 5 = 51^\circ$$, $$ \angle 6 = 51^\circ$$, $$ \angle 7 = 129^\circ$$, $$ \angle 8 = 129^\circ$$; 2) $$ \angle 4 = 150^\circ$$; 3) $$ \angle DAF = 36^\circ$$, $$ \angle ADF = 36^\circ$$, $$ \angle AFD = 108^\circ$$; 4) $$ \angle NKE = 65^\circ$$.