Вариант 1 1. Дано: а || ь, с секущая, 21:22 = 7: 2 (рис. 3.175). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: 21 = 22, 23 в 4 раза меньше 24 (рис. 3.176). Найти: 23, 24. a C a 1 A 13 b 2 b 2 B 4 C Рис. 3.176 Рис. 3.175 3. Отрезок DM - биссектриса ДСДЕ. Через точку М про- ведена прямая, пересекающая сторону DE в точке № так, что DN = MN. Найдите углы ADMN, если ∠CDE = 74°. 4*. Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, про- ведены перпендикуляры АС и BD к этой прямой, ∠BAC = 117°. а) Найти: ∠ABD. б) Доказать: прямые АВ и CD пересекаются.

Решение:

1. Дано: $$a \parallel b$$, $$c$$ - секущая, $$\angle 1 : \angle 2 = 7 : 2$$.

Найти: Все образовавшиеся углы.

Решение:

Пусть $$x$$ - коэффициент пропорциональности, тогда $$\angle 1 = 7x$$, $$\angle 2 = 2x$$.

Т.к. углы 1 и 2 - односторонние, то их сумма равна 180°.

Составим и решим уравнение:

$$7x + 2x = 180$$

$$9x = 180$$

$$x = 20$$

Значит, $$\angle 1 = 7 \cdot 20 = 140°$$, $$\angle 2 = 2 \cdot 20 = 40°$$.

Угол, смежный с углом 1, равен $$180 - 140 = 40°$$.

Угол, вертикальный углу 1, равен 140°.

Угол, смежный с углом 2, равен $$180 - 40 = 140°$$.

Угол, вертикальный углу 2, равен 40°.

Остальные углы равны углам 1 и 2, т.к. $$a \parallel b$$.

Ответ: 140°, 40°, 140°, 40°, 140°, 40°, 140°, 40°.

---

2. Дано: $$\angle 1 = \angle 2$$, $$\angle 3$$ в 4 раза меньше $$\angle 4$$.

Найти: $$\angle 3$$, $$\angle 4$$.

Решение:

Т.к. $$\angle 1 = \angle 2$$, то треугольник $$ABC$$ - равнобедренный.

Пусть $$\angle 3 = x$$, тогда $$\angle 4 = 4x$$.

Сумма углов треугольника равна 180°.

$$\angle 1 + \angle 3 + \angle 4 = 180$$

$$\angle 1 = \angle 2 = (180 - 4x - x) : 2 = (180 - 5x) : 2 = 90 - 2.5x$$

Сумма углов треугольника $$ABC$$ равна 180°.

$$\angle 1 + \angle 2 + \angle 4 = 180$$

$$90 - 2.5x + 90 - 2.5x + 4x = 180$$

$$180 - 5x + 4x = 180$$

$$180 - x = 180$$

$$x = 0$$

Получается, что $$\angle 3 = 0°$$, $$\angle 4 = 0°$$, что невозможно.

Предположим, что $$\angle 3$$ и $$\angle 4$$ - смежные.

Тогда $$\angle 3 + \angle 4 = 180$$.

Пусть $$\angle 3 = x$$, тогда $$\angle 4 = 4x$$.

$$x + 4x = 180$$

$$5x = 180$$

$$x = 36$$

Значит, $$\angle 3 = 36°$$, $$\angle 4 = 4 \cdot 36 = 144°$$.

Ответ: 36°, 144°.

---

3. Отрезок $$DM$$ - биссектриса $$\triangle CDE$$. Через точку $$M$$ проведена прямая, пересекающая сторону $$DE$$ в точке $$N$$ так, что $$DN = MN$$. Найдите углы $$\triangle DMN$$, если $$\angle CDE = 74°$$.

Решение:

Т.к. $$DM$$ - биссектриса $$\angle CDE$$, то $$\angle CDM = \angle MDE = 74 : 2 = 37°$$.

Т.к. $$DN = MN$$, то $$\triangle DMN$$ - равнобедренный.

Значит, $$\angle DNM = \angle MDN = 37°$$.

Сумма углов треугольника равна 180°.

$$\angle DMN = 180 - 37 - 37 = 106°$$.

Ответ: 37°, 37°, 106°.

---

4*. Из точек $$A$$ и $$B$$, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры $$AC$$ и $$BD$$ к этой прямой, $$\angle BAC = 117°$$.

а) Найти: $$\angle ABD$$.

Решение:

Т.к. $$AC$$ и $$BD$$ - перпендикуляры, то $$\angle ACB = \angle BDA = 90°$$.

Сумма углов четырехугольника равна 360°.

$$\angle BAC + \angle ACB + \angle BDA + \angle ABD = 360$$

$$117 + 90 + 90 + \angle ABD = 360$$

$$297 + \angle ABD = 360$$

$$\angle ABD = 360 - 297 = 63°$$.

Ответ: 63°.

---

б) Доказать: прямые $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются.

Решение:

Т.к. $$\angle BAC = 117°$$, то $$\angle CAB$$ - тупой.

Т.к. $$\angle ABD = 63°$$, то $$\angle ABD$$ - острый.

Сумма углов $$\angle BAC$$ и $$\angle ABD$$ равна $$117 + 63 = 180°$$.

Значит, прямые $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются.

ч.т.д.