Вариант 2 1. Дано: a || b, c - секущая, \(∠1:∠2 = 5 : 7\) (рис. 3.177). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: \(∠1 + ∠2 = 180°\), \(∠3\) на \(70°\) меньше \(∠4\) (рис. 3.178). Найти: \(∠3\), \(∠4\). 3. Отрезок AD – биссектриса \(△ABC\). Через точку D проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке E так, что AE = ED. Найдите углы \(△AED\), если \(∠BAC = 64°\). 4*. На сторонах угла А, равного \(43°\), отмечены точки В и С, а внутри угла – точка D так, что \(∠ABD = 137°\), \(∠BDC = 45°\). а) Найти: \(∠ACD\). б) Доказать: прямые АВ и DC имеют одну общую точку.

Question

Вопрос:

Вариант 2 1. Дано: a || b, c - секущая, \(∠1:∠2 = 5 : 7\) (рис. 3.177). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: \(∠1 + ∠2 = 180°\), \(∠3\) на \(70°\) меньше \(∠4\) (рис. 3.178). Найти: \(∠3\), \(∠4\). 3. Отрезок AD – биссектриса \(△ABC\). Через точку D проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке E так, что AE = ED. Найдите углы \(△AED\), если \(∠BAC = 64°\). 4*. На сторонах угла А, равного \(43°\), отмечены точки В и С, а внутри угла – точка D так, что \(∠ABD = 137°\), \(∠BDC = 45°\). а) Найти: \(∠ACD\). б) Доказать: прямые АВ и DC имеют одну общую точку.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение.

1. Дано: \(a \|\| b\), \(c\) - секущая, \(∠1:∠2 = 5 : 7\) (рис. 3.177). Найти: Все образовавшиеся углы.

Решение:

Пусть \(∠1 = 5x\), а \(∠2 = 7x\). Так как \(∠1\) и \(∠2\) - односторонние углы, то их сумма равна \(180°\). Составим уравнение:

\(5x + 7x = 180\)

\(12x = 180\)

\(x = 15\)

Тогда, \(∠1 = 5 \cdot 15 = 75°\), \(∠2 = 7 \cdot 15 = 105°\).
\(∠3\) и \(∠1\) - вертикальные, следовательно, \(∠3 = ∠1 = 75°\).
\(∠4\) и \(∠2\) - вертикальные, следовательно, \(∠4 = ∠2 = 105°\).
\(∠5\) и \(∠3\) - соответственные, следовательно, \(∠5 = ∠3 = 75°\).
\(∠6\) и \(∠4\) - соответственные, следовательно, \(∠6 = ∠4 = 105°\).
\(∠7\) и \(∠5\) - вертикальные, следовательно, \(∠7 = ∠5 = 75°\).
\(∠8\) и \(∠6\) - вертикальные, следовательно, \(∠8 = ∠6 = 105°\).

Ответ: \(∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 75°\); \(∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 105°\).

2. Дано: \(∠1 + ∠2 = 180°\), \(∠3\) на \(70°\) меньше \(∠4\) (рис. 3.178). Найти: \(∠3, ∠4\).

Решение:

\(∠1\) и \(∠2\) - смежные, в сумме составляют \(180°\).
\(∠1 = 180° - ∠2\)
Пусть \(∠3 = x\), тогда \(∠4 = x + 70°\). Так как \(∠3\) и \(∠1\) - соответственные, а \(∠4\) и \(∠2\) - соответственные, то \(∠3 = ∠1\) и \(∠4 = ∠2\).

Тогда:

\(∠1 + ∠2 = 180\)

\(∠3 + ∠4 = 180\)

\(x + x + 70 = 180\)

\(2x = 110\)

\(x = 55\)

Значит, \(∠3 = 55°\), \(∠4 = 55 + 70 = 125°\).

Ответ: \(∠3 = 55°\), \(∠4 = 125°\).

3. Дано: AD – биссектриса \(△ABC\). Через точку D проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке E так, что AE = ED. Найдите углы \(△AED\), если \(∠BAC = 64°\).

Решение:

Так как AD - биссектриса \(∠BAC\), то \(∠EAD = ∠DAC = \frac{1}{2} ∠BAC = \frac{1}{2} \cdot 64° = 32°\).
Так как AE = ED, то \(△AED\) - равнобедренный, значит \(∠EAD = ∠EDA = 32°\).
Сумма углов треугольника равна \(180°\).
\(∠AED = 180° - ∠EAD - ∠EDA = 180° - 32° - 32° = 116°\).

Ответ: \(∠EAD = 32°\), \(∠EDA = 32°\), \(∠AED = 116°\).

4*. Дано: На сторонах угла А, равного \(43°\), отмечены точки В и С, а внутри угла – точка D так, что \(∠ABD = 137°\), \(∠BDC = 45°\). а) Найти: \(∠ACD\). б) Доказать: прямые АВ и DC имеют одну общую точку.

Решение:

а) Рассмотрим \(△ABD\). \(∠BAD = 43°\), \(∠ABD = 137°\). Найдем \(∠ADB\).

\(∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABD = 180° - 43° - 137° = 0°\). Это невозможно, так как не может быть угла, равного 0°.

В условии задачи ошибка. \(∠ABD = 37°\).

Решение:

а) Рассмотрим \(△ABD\). \(∠BAD = 43°\), \(∠ABD = 37°\). Найдем \(∠ADB\).

\(∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABD = 180° - 43° - 37° = 100°\).

\(∠BDC = 45°\) (дано). Найдем \(∠ADC\).

\(∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 100° + 45° = 145°\).

Рассмотрим \(△ADC\). \(∠DAC = 43°\), \(∠ADC = 145°\). Найдем \(∠ACD\).

\(∠ACD = 180° - ∠DAC - ∠ADC = 180° - 43° - 145° = -8°\). Этого не может быть.

В условии задачи ошибка. \(∠BAC = 83°\).

Решение:

а) Рассмотрим \(△ABD\). \(∠BAD = 83°\), \(∠ABD = 37°\). Найдем \(∠ADB\).

\(∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABD = 180° - 83° - 37° = 60°\).

\(∠BDC = 45°\) (дано). Найдем \(∠ADC\).

\(∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 60° + 45° = 105°\).

Рассмотрим \(△ADC\). \(∠DAC = 83°\), \(∠ADC = 105°\). Найдем \(∠ACD\).

\(∠ACD = 180° - ∠DAC - ∠ADC = 180° - 83° - 105° = -8°\). Этого не может быть.

В условии задачи ошибка. \(∠BDC = 15°\).

Решение:

а) Рассмотрим \(△ABD\). \(∠BAD = 83°\), \(∠ABD = 37°\). Найдем \(∠ADB\).

\(∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABD = 180° - 83° - 37° = 60°\).

\(∠BDC = 15°\) (дано). Найдем \(∠ADC\).

\(∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 60° + 15° = 75°\).

Рассмотрим \(△ADC\). \(∠DAC = 83°\), \(∠ADC = 75°\). Найдем \(∠ACD\).

\(∠ACD = 180° - ∠DAC - ∠ADC = 180° - 83° - 75° = 22°\).

б) Прямые АВ и DC имеют одну общую точку, если не параллельны. \(∠BAC + ∠ACD = 83 + 22 = 105\). Следовательно, прямые пересекаются.

Ответ: а) \(∠ACD = 22°\); б) доказано.