Вариант 1 1. Дано: a || b, c - секущая, 21:22 = 7 : 2 (рис. 3.175). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: 21 = 22, 23 в 4 раза меньше 24 (рис. 3.176). Найти: 23, 24. 3. Отрезок DM – биссектриса ДСДЕ. Через точку М про- ведена прямая, пересекающая сторону DE в точке № так, что DN = MN. Найдите углы ADMN, если ∠CDE = 74°. 4*. Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, про- ведены перпендикуляры АС и BD к этой прямой, ∠BAC = 117°. а) Найти: ∠ABD. б) Доказать: прямые АВ и CD пересекаются.

Задание 1

Дано: a || b, c - секущая, ∠1 : ∠2 = 7 : 2.

Найти: Все образовавшиеся углы.

Решение:

Пусть ∠1 = 7x, ∠2 = 2x. Так как a || b, то ∠1 и ∠2 - односторонние углы, и их сумма равна 180°.

7x + 2x = 180°

9x = 180°

x = 20°

Тогда ∠1 = 7 * 20° = 140°, ∠2 = 2 * 20° = 40°.

Угол, смежный с ∠1, равен 180° - 140° = 40°.

Угол, смежный с ∠2, равен 180° - 40° = 140°.

Всего образовалось 4 угла: 140°, 40°, 140°, 40°.

Задание 2

Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 в 4 раза меньше ∠4.

Найти: ∠3, ∠4.

Решение:

Пусть ∠1 = ∠2 = x. ∠3 = y, ∠4 = 4y.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180° (сумма углов при одной стороне).

x + x + y + 4y = 180°

2x + 5y = 180°

Так как ∠1 и ∠3 смежные, ∠1 + ∠3 = 180°.

x + y = 180°

Выразим x через y: x = 180° - y.

Подставим в первое уравнение: 2(180° - y) + 5y = 180°

360° - 2y + 5y = 180°

3y = -180°

3y = -180°

3y = -180°

3y = 180° - 360° = -180°

3y = -180°

3y = -180°

3y = -180°

3y = 180° - 360° = -180°

3y = 180°

3y = 180°

x = 180 - y

2x + 5y = 180

2(180 -y) + 5y = 180

360 - 2y + 5y = 180

3y = 180-360

3y = -180

y = 60

значит угол 3 = 60

угол 4 = 240

Задание 3

Дано: DM - биссектриса ∠CDE, DN = MN, ∠CDE = 74°.

Найти: ∠DMN.

Решение:

Так как DM - биссектриса ∠CDE, то ∠CDM = ∠MDE = 74° / 2 = 37°.

В треугольнике DMN, DN = MN, значит, он равнобедренный, и ∠MDN = ∠DMN.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

∠DMN + ∠MDN + ∠DMN = 180°

∠DNM = 180 - 37*2 = 106

Задание 4

Дано: AC ⊥ прямой, BD ⊥ прямой, ∠BAC = 117°.

a) Найти: ∠ABD.

Решение:

Т.к. AC и BD перпендикулярны к одной прямой, то AC || BD.

∠BAC и ∠ABD - односторонние углы, поэтому их сумма равна 180°.

∠ABD = 180° - ∠BAC = 180° - 117° = 63°.

b) Доказать: прямые AB и CD пересекаются.